［选修4－4：坐标系与参数方程］ 在极坐标系中， O 为极…——2019 高考数学第 22 题答案解析

【答案】①$\rho_{0}=2 \sqrt{3}$ ，$l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=2$ ；②
$\rho=4 \cos \theta\left(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$

【解析】

【分析】
> （1）先由题意，将 $\theta_{0}=\frac{\pi}{3}$ 代入 $\rho=4 \sin \theta$ 即可求出 $\rho_{0}$ ；根据题意求出直线 $l$ 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
> （2）先由题意得到 $P$ 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围．

【详解】（1）因为点 $M\left(\rho_{0}, \theta_{0}\right)\left(\rho_{0}>0\right)$ 在曲线 $C: \rho=4 \sin \theta$ 上，

所以 $\rho_{0}=4 \sin \theta_{0}=4 \sin \frac{\pi}{3}=2 \sqrt{3}$ ；
即 $M\left(2 \sqrt{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ ，所以 $k_{O M}=\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ ，
因为直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $O M$ 垂直，
所以直线 $l$ 的直角坐标方程为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$ ，即 $x+\sqrt{3} y-4=0$ ；
因此，其极坐标方程为 $\rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta=4$ ，即 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=2$
> ②设 $P(x, y)$ ，则 $k_{O P}=\frac{y}{x}, k_{A P}=\frac{y}{x-4}$ ，
由题意，$O P \perp A P$ ，所以 $k_{O P} k_{A P}=-1$ ，故 $\frac{y^{2}}{x^{2}-4 x}=-1$ ，整理得 $x^{2}+y^{2}-4 x=0$ ，
因为 $P$ 在线段 $O M$ 上，$M$ 在 $C$ 上运动，所以 $0 \leq x \leq 2,2 \leq y \leq 4$ ，
所以，$P$ 点轨迹的极坐标方程为 $\rho^{2}-4 \rho \cos \theta=0$ ，即 $\rho=4 \cos \theta\left(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ．
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．