写出与圆 x^ 2 +y^ 2 =1 和 (x-3)^ 2…——2022 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $y=-\frac{3}{4} x+\frac{5}{4}$ 或 $y=\frac{7}{24} x-\frac{25}{24}$ 或 $x=-1$

【解析】

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可．
【详解】圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 的圆心为 $O(0,0)$ ，半径为 1 ，圆 $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$ 的圆心 $O_{1}$为 $(3,4)$ ，半径为 4 ，

两圆圆心距为 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ ，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，

当切线为 $l$ 时，因为 $k_{O O_{1}}=\frac{4}{3}$ ，所以 $k_{l}=-\frac{3}{4}$ ，设方程为 $y=-\frac{3}{4} x+t(t>0)$
$O$ 到 $l$ 的距离 $d=\frac{|t|}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=1$ ，解得 $t=\frac{5}{4}$ ，所以 $l$ 的方程为 $y=-\frac{3}{4} x+\frac{5}{4}$ ，
当切线为 $m$ 时，设直线方程为 $k x+y+p=0$ ，其中 $p>0, k<0$ ，
由题意 $\left\{\begin{array}{c}\frac{|p|}{\sqrt{1+k^{2}}}=1 \\ \frac{|3 k+4+p|}{\sqrt{1+k^{2}}}=4\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{c}k=-\frac{7}{24} \\ p=\frac{25}{24}\end{array}, y=\frac{7}{24} x-\frac{25}{24}\right.$
当切线为 $n$ 时，易知切线方程为 $x=-1$ ，
故答案为：$y=-\frac{3}{4} x+\frac{5}{4}$ 或 $y=\frac{7}{24} x-\frac{25}{24}$ 或 $x=-1$ ．