已知点 S, A, B, C 均在半径为 2 的球面上，…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】2
【解析】
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解．
【详解】如图，将三棱锥 $S-A B C$ 转化为直三棱柱 $S M N-A B C$ ，
设 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心为 $O_{1}$ ，半径为 $r$ ，

则 $2 r=\frac{A B}{\sin \angle A C B}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$ ，可得 $r=\sqrt{3}$ ，
设三棱锥 $S-A B C$ 的外接球球心为 $O$ ，连接 $O A, O O_{1}$ ，则 $O A=2, O O_{1}=\frac{1}{2} S A$ ，
因为 $O A^{2}=O O_{1}^{2}+O_{1} A^{2}$ ，即 $4=3+\frac{1}{4} S A^{2}$ ，解得 $S A=2$ ．
故答案为： 2 ．

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点 $P , A , B , C$ 构成的三条线段 $P A , P B , P C$ 两两垂直，且 $P A=a, P B=b, P C=c$ ，一般把有关元素＂补形＂成为一个球内接长方体，根据 $4 R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 求解；
（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．