（10分） A B C 中，内角A，B，C成等差数列，其对…——2012 高考数学第 17 题答案解析

【考点】 8 N ：数列与三角函数的综合．
【专题】15：综合题；2A：探究型．
【分析】由题设条件，可先由 $A, B, C$ 成等差数列，及 $A+B+C=\pi$ 得到 $B=\frac{\pi}{3}$ ，及 $A +C=\frac{2 \pi}{3}$ ，再由正弦定理将条件 $2 b^{2}=3 a c$ 转化为角的正弦的关系，结合 $\cos (A+$ C）$=\cos A \cos C-\sin A \sin C$ 求得 $\cos A \cos C=0$ ，从而解出 $A$
【解答】解：由 $A, B, C$ 成等差数列，及 $A+B+C=\pi$ 得 $B=\frac{\pi}{3}$ ，故有 $A+C=\frac{2 \pi}{3}$由 $2 \mathrm{~b}^{2}=3 \mathrm{ac}$ 得 $2 \sin ^{2} \mathrm{~B}=3 \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}=\frac{3}{2}$ ，
所以 $\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{1}{2}$
所以 $\cos (\mathrm{A}+\mathrm{C})=\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{C}-\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{C}-\frac{1}{2}$
即 $\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{C}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ ，可得 $\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{C}=0$
所以 $\cos A=0$ 或 $\cos C=0$ ，即 $A$ 是直角或 $C$ 是直角
所以 $A$ 是直角，或 $A=\frac{\pi}{6}$
【点评】本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性