2019_新课标 II 卷 (2019·文)
19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 $y$ 的频数分布表。
| $y$ 的分组 | ［－0．20，0） | ［0，0．20） | ［0．20，0．40） | ［0．40，0．60） | ［0．60，0．80） |
|---|---|---|---|---|---|
| 企业数 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 $40 \%$ 的企业比例、产值负增长的企业比例 ；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。（精确到 0.01 ）
附：$\sqrt{74} \approx 8.602$ ．
(1) 增长率超过 $40 \%$ 的企业比例为 $\frac{21}{100}$ ，产值负增长的企业比例为 $\frac{2}{100}=\frac{1}{50}$; (2) 平均数 0.3 ；标准差 0.17
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）
增长率超过 $40 \%$ 的企业比例为 $\frac{21}{100}$ ，产值负增长的企业比例为 $\frac{2}{100}=\frac{1}{50}$ ；（2）平均数 0.3 ；标准差 0.17 。
【解析】
【分析】
（1）本题首先可以通过题意确定 100 个企业中增长率超过 $40 \%$ 的企业以及产值负增长的企
业的个数，然后通过增长率超过 $40 \%$ 的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；
（2）可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果。
【详解】①由题意可知，随机调查的 100 个企业中增长率超过 $40 \%$ 的企业有 $14+7=21$个，
产值负增长的企业有 2 个，
所以增长率超过 $40 \%$ 的企业比例为 $\frac{21}{100}$ ，产值负增长的企业比例为 $\frac{2}{100}=\frac{1}{50}$ 。
②由题意可知，平均值 $\bar{y}=\frac{2^{\prime}(-0.1)+24^{\prime} 0.1+53^{\prime} 0.3+14^{\prime} 0.5+7^{\prime} 0.7}{100}=0.3$ ，
标准差的平方：
$$ \begin{aligned} & s^{2}=\frac{1}{100} \hat{\hat{\mathrm{e}}}^{\prime}(-0.1-0.3)^{2}+24^{\prime}(0.1-0.3)^{2}+53^{\prime}(0.3-0.3)^{2}+14^{\prime}(0.5-0.3)^{2}+7^{\prime}(0.7-0.3)^{2} \underset{\hat{\mathrm{q}}}{u} \\ & =\frac{1}{100}[0.32+0.96+0.56+1.12]=0.0296 \end{aligned} $$
所以标准差 $s=\sqrt{0.0296}=\sqrt{0.0004^{\prime} 74}$ » $0.02^{\prime} 8.602$ » 0.17 。
【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题。