2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) 第 10 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

10．（5分）已知函数 $f(x)=|\lg x|$ ，若 $0<a<b$ ，且 $f(a)=f(b)$ ，则 $a+2 b$ 的取值范围是（）

Accepted Answer

C

【考点】34：函数的值域；3D：函数的单调性及单调区间； 4 H ：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用。 【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想． 【分析】由题意 $f(a)=f(b)$ ，求出 $a b$ 的关系，然后利用＂对勾＂函数的性质知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{a})$ 在 $\mathrm{a} \in(0,1)$ 上为减函数， 确定 $a+2 b$ 的取值范围． 【解答】解：因为 $f(a)=f(b)$ ，所以 $|\lg a|=|\lg b|$ ，所以 $a=b$（舍去），或 $b=\frac{1}{a}$ ，所以 $a+2 b=a+\frac{2}{a}$ 又 $0 f(1)=1+\frac{2}{1}=3$ ，即 $a+2 b$ 的取值范围是 $(3,+\infty)$ ． 故选：C． 【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视 $a$ 的取值范围，而利用均值不等式求得 $a+2 b= a+\frac{2}{a}>2 \sqrt{2}$ ，从而错选A，这也是命题者的用心良苦之处。

2010 高考数学第 10 题答案解析

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