函数的单调性　·　历年高考数学真题与解析

15．已知 $M=\left\{k \mid a_{k}=b_{k}\right\}, a_{n}, b_{n}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是
①$a_{n}, b_{n}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多一个元素；
②$a_{n}, b_{n}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
③$a_{n}$ 为等差数列，$b_{n}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
④$a_{n}$ 单调递增，$b_{n}$ 单调递减，则 $M$ 中最多一个元素．

20．已知 $f(x)=x+k \ln (1+x)$ 在 $(t, f(t))(t>0)$ 处切线为 $l$ ．
（1）若切线 $l$ 的斜率 $k=-1$ ，求 $f(x)$ 单调区间；
（2）证明：切线 $l$ 不经过 $(0,0)$ ；
（3）已知 $k=1, A(t, f(t)), C(0, f(t)), O(0,0)$ ，其中 $t>0$ ，切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时。当 $2 S_{\triangle A C O}=15 S_{\triangle A B O}$ ，符合条件的 $A$ 的个数为？
（参考数据： $1.09<\ln 3<1.10,1.60<\ln 5<1.61,1.94<\ln 7<1.95$ ）

5．若 $a=4.2^{-0.3}, ~ b=4.2^{0.3}, ~ c=\log _{4.2} 0.2$ ，则 $a, ~ b, ~ c$ 的大小关系为（ ）

6．已知函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 a x-a, x<0 \\ \mathrm{e}^{x}+\ln (x+1), x \geq 0\end{array}\right.$ ，在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，则 $a$ 取值的范围是（ ）

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)+\sin x<0$ ，求 $a$ 的取值范围．

22．（1）证明：当 $0（2）已知函数 $f(x)=\cos a x-\ln \left(1-x^{2}\right)$ ，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．

3．若 $a=1.01^{0.5}, b=1.01^{0.6}, c=0.6^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

4．设函数 $f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

4．下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是（ ）

6．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x$ 在区间 $(1,2)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）。

20．（16分）已知函数 $f(x)=\sqrt{|x+a|-a}-x$ 。
（1）若 $a=1$ ，求函数的定义域；
（2）若 $a \neq 0$ ，若 $f(a x)=a$ 有2个不同实数根，求 $a$ 的取值范围；
（3）是否存在实数 $a$ ，使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性？若存在，求出 $a$ 的取值范围。
【思路分析】（1）把 $a=1$ 代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于 0 求解绝对值的不等式得答案；
②$f(a x)=a \Leftrightarrow \sqrt{|a x+a|-a}=a x+a$ ，设 $a x+a=t \ldots 0$ ，得 $a=t-t^{2}, ~ t \ldots 0$ ，求得等式右边关于 $t$ 的函数的值域可得 $a$ 的取值范围；
（3）分 $x \ldots-a$ 与 $x<-a$ 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性的 $a$ 的范围。

21．已知函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}+a x+1$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）求曲线 $y=f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y=f(x)$ 的公共点的坐标．

3.

已知 $f(x)$ 是定义在上 $[0,1]$ 的函数，那么＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增＂是＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$＂的

4．下列区间中，函数 $f(x)=7 \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 单调递增的区间是（ ）

5．设 $a=\log _{2} 0.3, b=\log _{\frac{1}{2}} 0.4, c=0.4^{0.3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 $W$ 与时间 $t$ 的关系为 $W=f(t)$ ，用 $-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的大小评价在 $[a, b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．

给出下列四个结论：
①在 $\left[t_{1}, t_{2}\right]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 $t_{2}$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 $t_{3}$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 $\left[0, t_{1}\right],\left[t_{1}, t_{2}\right],\left[t_{2}, t_{3}\right]$ 这三段时间中，在 $\left[0, t_{1}\right]$ 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

20．已知函数 $f(x)=e^{x}-a(x+2)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

11．设 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递减，则（ ）

12．设 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递减，则（ ）

19．改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包

括个人现在支出、社会支出、政府支出，下表为 2012 年～2015 年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．

（数据来源于国家统计年鉴）
（1）计算 $A , B$ 的数据，并指出2012年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；
（2）设 $t=1$ 表示 1978 年，第 $n$ 年卫生总费用与年份 $t$ 之间拟合函数
$f(t)=\frac{357876.6053}{1+e^{6.4420-0.1136 t}}$ ，
研究函数 $f(t)$ 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份．

20．（本小满分 16 分）
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为＂M一数列＂。
（1）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 满足：$a_{2} a_{4}=a_{5}, a_{3}-4 a_{2}+4 a_{1}=0$ ，求证：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂ M 一数列＂
（2）已知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{1}=1, \frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $m$ 为正整数，若存在＂M一数列＂$\left\{c_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，对任意正整数 $k$ ，当 $k \leqslant m$ 时，都有 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k+1}$成立，求 $m$ 的最大值．

## 数学 II（附加题）

3．（5 分）下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是

7．设 $0

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时

7．（4 分）设 $0

则当 $p$ 在 $(0,1)$ 内增大时，（ ）

（10）若函数 $e^{x} f(x)(e=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是

15．（5分）若函数 $e^{x f}(x) ~(e \approx 2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 M 性质。下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 $\_\_\_\_$ ．
①$f(x)=2^{-x}(2) f(x)=3^{-x}(3) f(x)=x^{3}(4) f(x)=x^{2}+2$ ．

21．已知函数 $f(x)=\log _{2} \frac{1+x}{1-x}$ ；
（1）解方程 $f(x)=1$ ；
②设 $x \in(-1,1), a \in(1,+\infty)$ ，证明：$\frac{a x-1}{a-x} \in(-1,1)$ ，且 $f\left(\frac{a x-1}{a-x}\right)-f(x)=-f\left(\frac{1}{a}\right)$ ；
③设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 中，$x_{1} \in(-1,1), x_{n+1}=(-1)^{n+1} \frac{3 x_{n}-1}{3-x_{n}}, n \in N^{*}$ ，求 $x_{1}$ 的取值范围，使得 $x_{3} \geq x_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立；

8．（5分）函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8\right)$ 的单调递增区间是（ ）

14．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\frac{\mathrm{x}}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

8．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）

20．（本题满分 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．
已知函数 $f(x)=a x^{2}+\frac{1}{x}$，其中 $a$ 为实数．
（1）根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 $a \in(1,3)$，判断函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的单调性，并说明理由．

20．已知函数 $f(x)=4 x-x^{4}, x \hat{\mathrm{I}} R$ ，其中 $\mathrm{n} \hat{\mathrm{I}} N^{*}$ ，且 $\mathrm{n}^{3} 2$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 $y=g(x)$ ，求证：对于任意的实数 $x$ ，都有 $f(x) £ g(x)$ ；

（III）若方程 $f(x)=a$（ $a$ 为实数）有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}

## 2015年高考天津市文科数学真题

21．（14分）（ $2015 \cdot$ 广东）设 a 为实数，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2}+|\mathrm{x}-\mathrm{a}|-\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)$ 。
（1）若 $f(0) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（3）当 $a \geq 2$ 时，讨论 $f(x)+\frac{4}{x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的零点个数．

## 2015年广东省高考数学试卷（文科）

21．（本小题满分 12 分）设 $f_{n}(x)$ 是等比数列 $1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}$ 的各项和，其中 $x>0, n \in \mathrm{~N}$， $n \geq 2$.
（I）证明：函数 $\mathrm{F}_{n}(x)=f_{n}(x)-2$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_{n}$ ），且 $x_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x_{n}^{n+1}$；
（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_{n}(x)$，比较 $f_{n}(x)$

与 $g_{n}(x)$ 的大小，并加以证明．

23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8分．

对于定义域为 R 的函数 $g(x)$，若存在正常数 T，使得 $\cos g(x)$ 是以 T 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期。已知 $f(x)$ 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R．设 $f(x)$ 单调递增，$f(0)=0, f(\mathrm{~T})=4 \pi$．
（1）验证 $h(x)=x+\sin \frac{x}{3}$ 是以 $6 \pi$ 为周期的余弦周期函数；
②设 $a（3）证明：＂$u_{0}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[0, \mathrm{~T}]$ 上得解＂的充要条件是＂$u_{0}+\mathrm{T}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[\mathrm{T}, 2 \mathrm{~T}]$ 上有解＂，并证明对任意 $x \in[0, \mathrm{~T}]$ 都有 $f(x+\mathrm{T})=f(x)+f(\mathrm{~T})$．

9．如果函数 $f(x)=\frac{1}{2}(m-2) x^{2}+(n-8) x+1(m \geq 0, n \geq 0)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减，则 $m n$ 的最大值为

4．函数 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-4\right)$ 的单调递增区间为

7．下了函数中，满足＂$f(x+y)=f(x) f(y)$＂的单调递增函数是（ ）

7．下列函数中，满足＂$f(x+y)=f(x) f(y)$＂的单调递增函数是（ ）

9．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 d ，若数列 $\left\{2^{a_{1} a_{n}}\right\}$ 为递减数列，则

21、（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+a, x<0 \\ \ln x, x>0\end{array}\right.$, 其中 $a$ 是实数。设 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 为该函数图象上的两点，且 $x_{1}（I）指出函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2}<0$，证明：$x_{2}-x_{1} \geq 1$；
（III）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围。

（4）＂$a \leq 0$＂＂是函数 $f(x)=|(a x-1) x|$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内单调递增＂的

（13）若函数 $f(x)=|2 x+a|$ 的单调递增区间是 $[3,+\infty)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 的单调递减区间。

16．函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$ ，若 $x_{1}, x_{2} \in A$ 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 时总有 $x_{1}=x_{2}$ ，则称 $f(x)$ 为单函数．例如，函数 $f(x)=2 x+1(x \in R)$ 是单函数．下列命题：

（1）函数 $f(x)=x^{2}(x \in R)$ 是单函数；
（2）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为单函数， $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{~A}$ 且 $\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，则 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right) \neq \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ ；
（3）若 $\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 为单函数，则对于任意 $\mathrm{b} \in \mathrm{B}$ ，它至多有一个原象；
（4）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在某区间上具有单调性，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 一定是单函数．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$。（写出所有真命题的编号）

17．（4分）（2011 • 浙江）若数列 $\left\{\mathrm{n}(\mathrm{n}+4)\left(\frac{2}{3}\right)^{\mathrm{n}}\right\}$ 中的最大项是第 k 项，则 $\mathrm{k}=4$

19．（本小题满分 16 分）
已知 $a, b$ 是实数，函数 $f(x)=x^{3}+a x, g(x)=x^{2}+b x, f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数．若 $f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \geq 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$上单调性一致．
（1）设 $a>0$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[-1,+\infty)$ 上单调性一致，求实数 $b$ 的取值范围；
②设 $a<0$ 且 $a \neq b$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在以 $a, b$ 为端点的开区间上单调性一致，求 $|a-b|$ 的最大值．

21．（12分）（2011•辽宁）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}-\mathrm{ax}^{2}+(2-\mathrm{a}) \mathrm{x}$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）设 $\mathrm{a}>0$ ，证明：当 $0<\mathrm{x}<\frac{1}{\mathrm{a}}$ 时， $\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\mathrm{x}\right)>\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}-\mathrm{x}\right)$ ；
（III）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 $\mathrm{x}_{0}$ ，证明： $\mathrm{f}^{\prime} \left(\mathrm{x}_{0}\right)<0$.

22．（12分）（I）设函数 $f(x)=\ln (1+x) \frac{2 x}{x+2}$ ，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$
（II）从编号1到100的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ，证明：

$ \mathrm{p}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\frac{1}{\mathrm{e}^{2}} . $

20．（本小题满分 13 分）
设 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x$ ．
（1）如果 $g(x)=f^{\prime}(x)-2 x-3$ 在 $x=-2$ 处取得最小值 -5 ，求 $f(x)$ 的解析式；
（2）如果 $m+n<10\left(m, n \in N_{+}\right), f(x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，的值．（注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b-a$ ）

## 21．（本小题满分 14 分）

（1）已知两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，满足 $a_{1}=a(a>0), b_{1}-a_{1}=1, b_{2}-a_{2}=2, b_{3}-a_{3}=3$ ，

若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 唯一，求 $a$ 的值；
（2）是否存在两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，使得 $b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}, b_{4}-a_{4}$ 成公差不为 0的等差数列？若存在，求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；若不存在，说明理由．

## 2011年江西高考文科数学真题及答案

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．

## 考生注意：

20．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 均有 $f(x)=k f(x+2)$ ，其中 $k$ 常数为负数，且 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上有表达式 $f(x)=x(x-2)$
（1）求 $f(-1), f(2.5)$ 的值；
（2）写出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的表达式，并讨论函数 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上！单调性
（3）求出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的最小值与最大值，并求出相应的自变：

的取值．

20．（本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$
（1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出 n 为何值时，$S_{n}$ 取得最小值，并说明理由。
（2）$S_{n}=n+75\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-90 \quad \mathrm{n}=15$ 取得最小值

（9）．设抛物线 $y^{2}=2 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，过点 $\mathrm{M}(\sqrt{3}, 0)$ 的直线与抛物线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，与抛物线的准线相交于 $\mathrm{C},|B F|=2$ ，则 $\triangle \mathrm{BCF}$ 与 $\triangle \mathrm{ACF}$ 的成面积之比 $\frac{S_{\triangle B C F}}{S_{\triangle A C F}}=$

19．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ．
（I）当 $\mathrm{a}=3$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

21．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+c x$ 有三个极值点。
（I）证明：$-27（II）若存在实数 c ，使函数 $f(x)$ 在区间 $[a, a+2]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围。

## 2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学能力测试

一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

21．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ．
（I）当 $a=3$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

9．（5分）设 $a>1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(a+1)^{2}}=1$ 的离心率 $e$ 的取值范围是（ ）