函数的单调性　·　历年高考数学真题与解析

15.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有

①存在在R上单调递增的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

②存在在R上单调递减的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

③使得 $f ( x ) + f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；

④使得 $f ( x ) - f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.

7．函数 $f(x)=0.3^{x}-\sqrt{x}$ 的零点所在区间是

12．已知 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ ，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于原点对称，则 $\cos \beta$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

5．若 $a=4.2^{-0.3}, ~ b=4.2^{0.3}, ~ c=\log _{4.2} 0.2$ ，则 $a, ~ b, ~ c$ 的大小关系为（ ）

6．已知函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 a x-a, x<0 \\ \mathrm{e}^{x}+\ln (x+1), x \geq 0\end{array}\right.$ ，在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，则 $a$ 取值的范围是（ ）

7．记水的质量为 $d=\frac{S-1}{\ln n}$ ，并且 $d$ 越大，水质量越好。若 $S$ 不变，且 $d_{1}=2.1, d_{2}=2.2$ ，则 $n_{1}$ 与 $n_{2}$ 的关系为（ ）

9．已知 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是函数 $y=2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（）

11．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-(x-1)^{2}}$ ．记 $a=f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right), b=f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right), c=f\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ ，则（ ）

3．若 $a=1.01^{0.5}, b=1.01^{0.6}, c=0.6^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

4．设函数 $f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

4．下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是（ ）

5．已知 $a=2^{0.7}, b=\left(\frac{1}{3}\right)^{0.7}, c=\log _{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

5．已知函数 $f(x)=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$ ，则（ ）

22．设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$ ，函数 $f(x)=a^{x}-b x+e^{2}(x \in \mathrm{R})$
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若对任意 $b>2 e^{2}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=e$ 时，证明：对任意 $b>e^{4}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $x_{2}>\frac{b \ln b}{2 e^{2}} x_{1}+\frac{e^{2}}{b}$ ．
（注：$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）

10．设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ ，则 $f(x)$

10．设 $a=\log _{3} 2, b=\log _{5} 3, c=\frac{2}{3}$ ，则（ ）

11．若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$ ，则（ ）

12．若 $2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b$ ，则（ ）

12．若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$ ，则

21．已知非空集合 $A \subseteq \mathbf{R}$ ，函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $t \in A$ 且 $x \in D$ ，不等式 $f(x) \leq f(x+t)$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 具有 $A$ 性质．
①当 $A=\{-1\}$ ，判断 $f(x)=-x , g(x)=2 x$ 是否具有 $A$ 性质；
②当 $A=(0,1), f(x)=x+\frac{1}{x}, x \in[a,+\infty)$ ，若 $f(x)$ 具有 $A$ 性质，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $A=\{-2, m\}, ~ m \in \mathbf{Z}$ ，若 $D$ 为整数集且具有 $A$ 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 $m$ 的值．

9．设函数 $f(x)=\ln |2 x+1|-\ln |2 x-1|$ ，则 $f(x) ~(\quad)$

12．设 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递减，则（ ）

3．已知 $a=\log _{2} 0.2, b=2^{0.2}, c=0.2^{0.3}$ ，则

3．已知 $a=\log _{2} 0.2, b=2^{0.2}, c=0.2^{0.3}$ ，则

3．（5 分）下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是

6．在同一直角坐标系中，函数 $y=\frac{1}{a^{x}}, y=\log _{a}\left(x+\frac{1}{2}\right)(a>0$ 且 $a \neq 0)$ 的图象可能是（ ）

7．设 $0<a<1$ ，则随机变量 $X$ 的分布列是：

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时

9．下列函数中，以 $\frac{\pi}{2}$ 为周期且在区间 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增的是

12．（5分）设 $a=\log _{0.2} 0.3, b=\log _{2} 0.3$ ，则

12．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{-x}, x \leqslant 0 \\ 1, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x+1)<f(2 x)$ 的 $x$ 的取值范围是

13．（5 分）能说明＂若 $f(x)>f(0)$ 对任意的 $x \in(0,2]$ 都成立，则 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上是增函数＂为假命题的一个函数是 $\_\_\_\_$ $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}$。

11．（5分）设 $x , y , z$ 为正数，且 $2^{x}=3^{y}=5^{z}$ ，则（ ）

11．（5分）已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点，则 $a=$（ ）

13. 函数 2( ) ( 1)$f x x= -$的单调递增区间是（ ）

15．（5分）若函数 $e^{x f}(x) ~(e \approx 2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 M 性质。下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 $\_\_\_\_$ ．
①$f(x)=2^{-x}(2) f(x)=3^{-x}(3) f(x)=x^{3}(4) f(x)=x^{2}+2$ ．

5．（5 分）已知函数 $f(x)=3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right) x$ ，则 $f(x)(\quad)$

6．（5分）已知奇函数 $f(x)$ 在 $R$ 上是增函数．若 $a=-f\left(\log _{2} \frac{1}{5}\right), b=f\left(\log _{2} 4\right.$ ．
1），$c=f\left(2^{0.8}\right)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

8．（5分）函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8\right)$ 的单调递增区间是（ ）

10．（5 分）函数 $f(x)=\frac{x}{x-1}(x \geqslant 2)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 2 ．

18．设 $f(x), g(x), h(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的三个函数．对于命题：①若 $f(x)+g(x)$、 $f(x)+h(x), g(x)+h(x)$ 均是增函数，则 $f(x), g(x), h(x)$ 均是增函数；②若 $f(x)+g(x), f(x)+h(x), g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x), g(x)$、 $h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，下列判断正确的是。

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8分．

已知 $a \in \mathrm{R}$ ，函数 $f(x)=\log _{2}\left(\frac{1}{x}+a\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，解不等式 $f(x)>1$ ；
（2）若关于 $x$ 的方程 $f(x)+\log _{2}\left(x^{2}\right)=0$ 的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的值；
③设 $a>0$ ，若对任意 $t \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+1]$ 上的最大值与最小值的差不超过 1 ，求 $a$ 的取值范围．

4．（5 分）下列函数中，在区间 $(-1,1)$ 上为减函数的是（）

5．（5 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b}>0$ 且 $\mathrm{a} \neq 1, \mathrm{~b} \neq 1$ ，若 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}>1$ ，则（）

5．（5 分）已知 $x, y \in R$ ，且 $x>y>0$ ，则（ ）

6．（5分）已知 $a=2^{\frac{4}{3}}, b=3^{\frac{2}{3}}, c=25^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

7．（5分）已知 $a=2^{\frac{4}{3}}, b=3^{\frac{2}{3}}, c=25^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

8．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）

8．（5分）若 $a>b>1, ~ 0<c<1$ ，则（ ）

10、设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)=2^{x-2}+\frac{x}{2}, x \in[0,2]$ 的反函数，则 $y=f(x)+f^{-1}(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $f(x)=\ln x, 0<a<b$，若 $p=f(\sqrt{a b}), q=f\left(\frac{a+b}{2}\right), r=\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$，则下列关系式中正确的是

10．（5 分） $2^{-3}, 3^{\frac{1}{2}}, \log _{2} 5$ 三个数中最大数的是 $\_\_\_\_$ $\log _{2} 5$。

20．（本题满分 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．
已知函数 $f(x)=a x^{2}+\frac{1}{x}$，其中 $a$ 为实数．
（1）根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 $a \in(1,3)$，判断函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的单调性，并说明理由．

4、设 $a, b$ 为正实数，则＂$a>b>1$＂是＂ $\log _{2} a>\log _{2} b>0$＂的（

6．已知符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{ll}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x<0 .\end{array} \quad f(x)\right.$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数，$g(x)=f(x)-f(a x)(a>1)$ ，则

7．在区间 $[0,2]$ 上随机地取一个数 $x$ ，则事件＂$-1 \leq \log _{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right) \leq 1$＂发生的概率为（ ）

9．设 $f(x)=\ln x, 0<a<b$ ，若 $p=f(\sqrt{a b}), q=f\left(\frac{a+b}{2}\right), r=\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$ ，则下列关系式中正确的是（ ）

9．如果函数 $f(x)=\frac{1}{2}(m-2) x^{2}+(n-8) x+1(m \geq 0, n \geq 0)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减，则 $m n$ 的最大值为

10．已知函数 $f(x)=x^{2}+e^{x}-\frac{1}{2}(x<0)$ 与 $g(x)=x^{2}+\ln (x+a)$ 图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是

11．将函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，所得图象对应的函数

15．（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{x-1}, & x<1 \\ \frac{1}{3}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则使得 $f(x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范
围是 $\_\_\_\_$ $x \leq 8$ ．

16．（5分）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{a} \sin \mathrm{x}$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 是减函数，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，2］ ．

2．（5 分）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是

2．（5 分）下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上为增函数的是（）

21．（本小题满分 14 分）

$\pi$ 为圆周率，$e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数．
（1）求函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的单调区间；
（2）求 $e^{3}, 3^{e}, e^{\pi}, \pi^{e}, 3^{\pi}, \pi^{3}$ 这 6 个数中的最大数与最小数；
（3）将 $e^{3}, 3^{e}, e^{\pi}, \pi^{e}, 3^{\pi}, \pi^{3}$ 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

3．（5分）设 $\mathrm{a}=\sin 33^{\circ}, \mathrm{b}=\cos 55^{\circ}, \mathrm{c}=\tan 35^{\circ}$ ，则（ ）

3．已知 $a=2^{-\frac{1}{3}}, b=\log _{2} \frac{1}{3}, c=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则

3．已知 $a=2^{-\frac{1}{3}}, b=\log _{2} \frac{1}{3}, c=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则

7．下了函数中，满足＂$f(x+y)=f(x) f(y)$＂的单调递增函数是（ ）

7．下列函数中，满足＂$f(x+y)=f(x) f(y)$＂的单调递增函数是（ ）

10．设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad\left(a \in R, e\right.$ 为自然对数的底数）．若曲线 $y=\sin x$ 上存在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$使得 $f\left(f\left(y_{0}\right)\right)=y_{0}$，则 $a$ 的取值范围是

10、设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数）。若存在 $b \in[0,1]$ 使 $f(f(b))=b$成立，则 $a$ 的取值范围是

10．设 $S, T$ 是 $R$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y=f(x)$ 满足：

（i）$T=\{f(x) \mid x \in S\}$；（ii）对任意 $x_{1}, x_{2} \in S$，当 $x_{1}<x_{2}$ 时，恒有 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$，那么称这两个集合 ＂保序同构＂，以下集合对不是＂保序同构＂的是

12．（5分）若存在正数 x 使 $2^{\mathrm{x}}(\mathrm{x}-\mathrm{a})<1$ 成立，则 a 的取值范围是（ ）

21．（本小题满分 13 分）
设 $a>0, b>0$，已知函数 $f(x)=\frac{a x+b}{x+1}$．
（I）当 $a \neq b$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）当 $x>0$ 时，称 $f(x)$ 为 $a, b$ 关于 $x$ 的加权平均数．
（i）判断 $f①, f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right), f\left(\frac{b}{a}\right)$ 是否成等比数列，并证明 $f\left(\frac{b}{a}\right) \leq f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$；
（ii）$a, b$ 的几何平均数记为 $G$．称 $\frac{2 a b}{a+b}$ 为 $a, b$ 的调和平均数，记为 $H$．
若 $H \leq f(x) \leq G$，求 $x$ 的取值范围．

（2）已知集合 $A=\left\{x \mid 0<\log _{4} x<1\right\}, B=\{x \mid x \leq 2\}$，则 $A \cap B=$

3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减的是

8．（5分）设 $a=\log _{3} 2, b=\log _{5} 2, c=\log _{2} 3$ ，则（

（13）若函数 $f(x)=|2 x+a|$ 的单调递增区间是 $[3,+\infty)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

9．设 $a>0, b>0$

16．函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$ ，若 $x_{1}, x_{2} \in A$ 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 时总有 $x_{1}=x_{2}$ ，则称 $f(x)$ 为单函数．例如，函数 $f(x)=2 x+1(x \in R)$ 是单函数．下列命题：

（1）函数 $f(x)=x^{2}(x \in R)$ 是单函数；
（2）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为单函数， $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{~A}$ 且 $\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，则 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right) \neq \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ ；
（3）若 $\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 为单函数，则对于任意 $\mathrm{b} \in \mathrm{B}$ ，它至多有一个原象；
（4）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在某区间上具有单调性，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 一定是单函数．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$。（写出所有真命题的编号）

5．已知 $a=\log _{2} 3.6, b=\log _{4} 3.2, c=\log _{4} 3.6$ 则

6．（5分）（2011•陕西）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\cos \mathrm{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 内（ ）

10．（5分）已知函数 $f(x)=|\lg x|$ ，若 $0<a<b$ ，且 $f(a)=f(b)$ ，则 $a+2 b$ 的取值范围是（）

（8）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}\log _{2} x, x>0, \\ \log _{\frac{1}{2}}(-x), x<0\end{array}\right.$ ，若 $\mathrm{f}(\mathrm{a})>\mathrm{f}(-\mathrm{a})$ ，则实数 a 的取值范围是

10．（2009 浙江理 10）对于正实数 $\alpha$ ，记 $M_{\alpha}$ 为满足下述条件的函数 $f(x)$ 构成的集合：$\forall x_{1}, x_{2} \in \boldsymbol{R}$
且 $x_{2}>x_{1}$ ，有 $-\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)<\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right)$ 。下列结论中正确的是（ ）

（12）若 $x_{1}$ 满足 $2 x+2^{x}=5, x_{2}$ 满足 $2 x+2 \log _{2}(x-1)=5, x_{1}+x_{2}=$

6．下面不等式成立的是

7．设函数 $f(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x}}(0 \leqslant x<1)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$ ，则（ ）