（2013广东，文19）（本小题满分14分）设各项均为正数…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（1）证明：当 $n=1$ 时， $4 a_{1}=a_{2}{ }^{2}-5, \therefore a_{2}{ }^{2}=4 a_{1}+5$ ．
$\because a_{n}>0, \quad \therefore a_{2}=\sqrt{4 a_{1}+5}$ ．
（2）解：当 $n \geqslant 2$ 时， $4 S_{n-1}=a_{n}{ }^{2}-4(n-1)-1$ ，①
$4 S_{n}=a_{n+1}^{2}-4 n-1$ ，②
由②－①，得 $4 a_{n}=4 S_{n}-4 S_{n-1}=a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}-4$ ，
$\therefore a_{n+1}{ }^{2}=a_{n}{ }^{2}+4 a_{n}+4=\left(a_{n}+2\right)^{2}$ ．
$\because a_{n}>0, \quad \therefore a_{n+1}=a_{n}+2$ ，
∴ 当 $n \geqslant 2$ 时，$\left\{a_{n}\right\}$ 是公差 $d=2$ 的等差数列．
$\because a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列，
$\therefore a_{5}{ }^{2}=a_{2} \cdot a_{14},\left(a_{2}+6\right)^{2}=a_{2} \cdot\left(a_{2}+24\right)$ ，解得 $a_{2}=3$ ．
由①可知， $4 a_{1}=a_{2}{ }^{2}-5=4, \quad \therefore a_{1}=1$ ．

$\because a_{2}-a_{1}=3-1=2$,
$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 是首项 $a_{1}=1$ ，公差 $d=2$ 的等差数列。
∴ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2 n-1$ ．
（3）证明：$\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$
$=\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1) \cdot(2 n+1)}$
$=\frac{1}{2} \times\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)\right]$
$=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)<\frac{1}{2}$ ．
20 ．
解：（1）依题意 $d=\frac{|0-c-2|}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，解得 $c=1$（负根舍去）．
∴ 抛物线 $C$ 的方程为 $x^{2}=4 y$ ．
②设点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 。
由 $x^{2}=4 y$ ，即 $y=\frac{1}{4} x^{2}$ ，得 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$ ．
∴ 抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线 $P A$ 的方程为 $y-y_{1}=\frac{x_{1}}{2}\left({ }_{x}-x_{1}\right)$ ，
即 $y=\frac{x_{1}}{2} x+y_{1}-\frac{1}{2} x_{1}{ }^{2}$ 。
$\because y_{1}=\frac{1}{4} x_{1}{ }^{2}, \quad \therefore y=\frac{x_{1}}{2} x-y_{1}$ ．
∵ 点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在切线 $P A$ 上，
$\therefore y_{0}=\frac{x_{1}}{2} x_{0}-y_{1}$ ．（1）
同理，$y_{0}=\frac{x_{2}}{2} x_{0}-y_{2}$ 。（2）
综合①，②得，点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的坐标都满足方程 $y_{0}=\frac{x}{2} x_{0}-y$ ．
∵ 经过 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 两点的直线是唯一的，
∴ 直线 $A B$ 的方程为 $y_{0}=\frac{x}{2} x_{0}-y$ ，即 $x_{0} x-2 y-2 y_{0}=0$ ．
③由抛物线的定义可知 $|A F|=y_{1}+1,|B F|=y_{2}+1$ ，
$\therefore|A F| \cdot|B F|=\left(y_{1}+1\right)\left(y_{2}+1\right)$
$=y_{1}+y_{2}+y_{1} y_{2}+1$ ．
联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=4 y, \\ x_{0} x-2 y-2 y_{0}=0,\end{array}\right.$
消去 $X$ 得 $y^{2}+\left(2 y_{0}-x_{0}{ }^{2}\right) y+y_{0}{ }^{2}=0$ ，
$\therefore y_{1}+y_{2}=x_{0}{ }^{2}-2 y_{0}, y_{1} y_{2}=y_{0}{ }^{2}$ 。
∵ 点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在直线 $l$ 上，$\therefore x_{0}-y_{0}-2=0$ ．
$\therefore|A F| \cdot|B F|=x_{0}{ }^{2}-2 y_{0}+y_{0}{ }^{2}+1$
$=y_{0}{ }^{2}-2 y_{0}+\left(y_{0}+2\right)^{2}+1$
$=2 y_{0}^{2}+2 y_{0}+5=2\left(y_{0}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{2}$ ．

∴ 当 $y_{0}=-\frac{1}{2}$ 时，$|A F| \cdot|B F|$ 取得最小值为 $\frac{9}{2}$ ．