2013 高考数学第 19 题答案解析

19．（2013广东，文19）（本小题满分14分）设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n}=a_{n+1}^{2}-4 n -1, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列。
（1）证明：$a_{2}=\sqrt{4 a_{1}+5}$ ；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}<\frac{1}{2}$ ．