（12分）设数列 a_ n 满足 a_ 1 =0 且 1…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【考点】8E：数列的求和； 8 H ：数列递推式； 8 K ：数列与不等式的综合．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）由 $\left\{\frac{1}{1-a_{n}}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列，知 $\frac{1}{1-a_{n}}=\frac{1}{1-a_{1}}+(n-1) \times 1=n$ ，由此能求出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。
（II）由 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}=\frac{1-\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}+1}}$ ，能够证明 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<1$ ．
【解答】解：（I ）$\left\{\frac{1}{1-a_{n}}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列，
$\frac{1}{1-a_{n}}=\frac{1}{1-a_{1}}+(n-1) \times 1=n$ ，
$\therefore a_{n}=\frac{n-1}{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ．
（II） $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}=\frac{1-\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}+1}}$ ，
$\therefore S_{n}=\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}<1$ ．

【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．