（12分）等差数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n，…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【考点】8E：数列的求和．

【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）通过 $S_{n} \leq S_{4}$ 得 $a_{4} \geq 0, a_{5} \leq 0$ ，利用 $a_{1}=13 , a_{2}$ 为整数可得 $d=-4$ ，进而可得结论；
（2）通过 $a_{n}=13-3 n$ ，分离分母可得 $b_{n}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{13-3 n}-\frac{1}{10-3 n}\right)$ ，并项相加即可

【解答】解：（1）在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，由 $S_{n} \leq S_{4}$ 得：
$a_{4} \geq 0, \quad a_{5} \leq 0$,
又 $\because a_{1}=13$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}13+3 d \geqslant 0 \\ 13+4 d \leqslant 0\end{array}\right.$ ，解得 $-\frac{13}{3} \leq d \leq-\frac{13}{4}$ ，
$\because a_{2}$ 为整数，$\quad \therefore d=-4$ ，
$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 的通项为：$a_{n}=17-4 n$ ；
②$\because a_{n}=17-4 n$ ，
$\therefore b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{1}{(17-4 n)(21-4 n)}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4 n-17}-\frac{1}{4 n-21}\right)$ ，
于是 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{2}+\ldots \ldots+\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$
$=-\frac{1}{4}\left[\left(\frac{1}{-13}-\frac{1}{-17}\right)+\left(\frac{1}{-9}-\frac{1}{-13}\right)+\ldots \ldots+\left(\frac{1}{4 n-17}-\frac{1}{4 n-21}\right)\right]$
$=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4 n-17}-\frac{1}{-17}\right)$
$=\frac{\mathrm{n}}{17(17-4 \mathrm{n})}$ ．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题。