（12分）已知等差数列 a_ n 的前 n 项和 S_ n…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）设出等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项和公差，直接由 $S_{3}=0, S_{5}=-5$ 列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；
（II）把（I）中求出的通项公式，代入数列 $\left\{\frac{1}{a_{2 n-1} a_{2 n+1}}\right\}$ 的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列 $\left\{\frac{1}{a_{2 n-1} a_{2 n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。
【解答】解：（I）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，则 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1) d}{2}$ ．
由已知可得 $\left\{\begin{array}{l}3 a_{1}+3 d=0 \\ 5 a_{1}+\frac{5(5-1)}{2} d=-5\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+d=0 \\ a_{1}+2 d=-1\end{array}\right.$ ，解得 $a_{1}=1, d=-1$ ，
故 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d=1+(n-1) \bullet(-1)=2-n$ ；
（II）由（I）知 $\frac{1}{a_{2 n-1} a_{2 n+1}}=\frac{1}{(3-2 n)(1-2 n)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-3}-\frac{1}{2 n-1}\right)$ ．
从而数列 $\left\{\frac{1}{a_{2 n-1} a_{2 n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{-1}-\frac{1}{1}\right)+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2 \mathrm{n}-3}-\frac{1}{2 \mathrm{n}-1}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left(-1-\frac{1}{2 \mathrm{n}-1}\right)=\frac{\mathrm{n}}{1-2 \mathrm{n}}$.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题。