（17）（本小题满分 13 分） 如图，在四面体 A B…——2018 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分 13 分．
（I）由平面 $A B C \perp$ 平面 $A B D$ ，平面 $A B C \cap$ 平面 $A B D=A B, A D \perp A B$ ，可得 $A D \perp$ 平面 $A B C$ ，故 $A D \perp B C$ ．
（II）解：取棱 $A C$ 的中点 $N$ ，连接 $M N, N D$ ．又因为 $M$ 为棱 $A B$ 的中点，故 $M N \| B C$ ．所以 $\angle D M N$（或其补角 ）为异面直线 $B C$ 与 $M D$ 所成的角．

在Rt $\triangle D A M$ 中，$A M=1$ ，故 $D M=\sqrt{A D^{2}+A M^{2}}=\sqrt{13}$ ．因为 $A D \perp$ 平面 $A B C$ ，故 $A D \perp A C$ ．

在Rt $\triangle D A N$ 中，$A N=1$ ，故 $D N=\sqrt{A D^{2}+A N^{2}}=\sqrt{13}$ ．
在等腰三角形 $D M N$ 中，$M N=1$ ，可得 $\cos \angle D M N=\frac{\frac{1}{2} M N}{D M}=\frac{\sqrt{13}}{26}$ ．
所以，异面直线 $B C$ 与 $M D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{26}$ ．
（III）解：连接 $C M$ ．因为 $\triangle A B C$ 为等边三角形，$M$ 为边 $A B$ 的中点，故 $C M \perp A B, C M=\sqrt{3}$ ．又因为平面 $A B C$ ⟂平面 $A B D$ ，而 $C M \subset$ 平面 $A B C$ ，故 $C M \perp$ 平面 $A B D$ ．所以，$\angle C D M$ 为直线 $C D$ 与平面 $A B D$ 所成的角．

在Rt $\triangle C A D$ 中，$C D=\sqrt{A C^{2}+A D^{2}}=4$ ．
在Rt $\triangle C M D$ 中， $\sin \angle C D M=\frac{C M}{C D}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．
所以，直线 $C D$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．