2018 天津卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）设集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\{-1,0,2,3\}, C=\{x \in \mathbf{R} \mid-1 \leq x<2\}$ ，则 $(A \cup B) \cap C=$

（2）设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 5, \\ 2 x-y \leq 4, \\ -x+y \leq 1, \\ y \geq 0,\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=3 x+5 y$ 的最大值为

（3）设 $x \in \mathbf{R}$ ，则＂$x^{3}>8$＂是＂$|x|>2$＂的

（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 $N$ 的值为 20 ，则输出 $T$ 的值为 

（5）已知 $a=\log _{3} \frac{7}{2}, b=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}}, c=\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

（6）将函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{5}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数

（7）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 ，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A, B$ 两点．设 $A, B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1}+d_{2}=6$ ，则双曲线的方程为

（8）在如图的平面图形中，已知 $O M=1 . O N=2, \angle M O N=120^{\circ}, \overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{M A}, \overrightarrow{C N}=2 \overrightarrow{N A}$ ，则 $\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{O M}$的值为 

（9）$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{6+7 i}{1+2 i}=$ $\_\_\_\_$ ．

（10）已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \ln x, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则 $f^{\prime}$（1）的值为 $\_\_\_\_$ ．

（11）如图，已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1 ，则四棱柱 $A_{1}-B B_{1} D_{1} D$ 的体积为 $\_\_\_\_$ ．  第（11）题图

（12）在平面直角坐标系中，经过三点 $(0,0),(1,1),(2,0)$ 的圆的方程为 $\_\_\_\_$。

（13）已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，且 $a-3 b+6=0$ ，则 $2^{a}+\frac{1}{8^{b}}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

（14）已知 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+a-2, x \leq 0, \\ -x^{2}+2 x-2 a, x>0 .\end{array}\right.$ 若对任意 $x \in[-$ $3,+\infty), f(x) \leq|x|$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ． 三．

（15）（本小题满分 13 分） 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 $240,160,160$ ．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动。 （I）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （II）设抽出的7名同学分别用 $A, B, C, D, E, F, G$ 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 $M$ 为事件＂抽取的 2 名同学来自同一年级＂，求事件 $M$ 发生的概率．

（16）（本小题满分 13 分） 在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b \sin A=a \cos \left(B-\frac{\pi}{6}\right)$ ． （I）求教 $B$ 的大小； （II）设 $a=2, c=3$ ，求 $b$ 和 $\sin (2 A-B)$ 的值．

（17）（本小题满分 13 分） 如图，在四面体 $A B C D$ 中，$\triangle A B C$ 是等边三角形，平面 $A B C \perp$ 平面 $A B D$ ，点 $M$ 为棱 $A B$ 的中点，$A B=2, A D= 2 \sqrt{3}, \angle B A D=90^{\circ}$ ． （I）求证：$A D \perp B C$ ； （II）求异面直线 $B C$ 与 $M D$ 所成角的余弦值； （III）求直线 $C D$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值． 

（18）（本小题满分 13 分） 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ;\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0，其前 $n$ 项和为 $T_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$．已 知 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2, b_{4}=a_{3}+a_{5}, b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$． （I）求 $S_{n}$ 和 $T_{n}$； （II）若 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\ldots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$，求正整数 $n$ 的值．

（19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3},|A B|=\sqrt{13}$ ． （I）求椭圆的方程； （II）设直线 $l: y=k x(k<0)$ 与椭圆交于 $P, Q$ 两点，$l$ 与直线 $A B$ 交于点 $M$ ，且点 $P, M$ 均在第四象限．若 $\triangle B P M$ 的面积是 $\triangle B P Q$ 面积的 2 倍，求 $k$ 的值．

（20）（本小题满分 14 分） 设函数 $f(x)=\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\left(x-t_{3}\right)$ ，其中 $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbf{R}$ ，且 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 是公差为 $d$ 的等差数列． （I）若 $t_{2}=0, d=1$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程； （II）若 $d=3$ ，求 $f(x)$ 的极值； （III）若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-\left(x_{1}-t_{2}\right)-6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求 $d$ 的取值范围．