若 a>0, b>0，则 1 a + a b^ 2 +b…——2021 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $2 \sqrt{2}$

## 【解析】

【分析】两次利用基本不等式即可求出．
【详解】 $\because a>0, b>0$ ，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{a}{b^{2}}}+b=\frac{2}{b}+b \geq 2 \sqrt{\frac{2}{b} \cdot b}=2 \sqrt{2}$ ，
当且仅当 $\frac{1}{a}=\frac{a}{b^{2}}$ 且 $\frac{2}{b}=b$ ，即 $a=b=\sqrt{2}$ 时等号成立，
所以 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．
故答案为： $2 \sqrt{2}$ ．