已知 a, b, c 均为正数，且 a^ 2 +b^ 2…——2022 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）见解析
（2）见解析

【解析】

**方法一**：根据 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=a^{2}+b^{2}+(2 c)^{2}$ ，利用柯西不等式即可得证；
②由①结合已知可得 $0<a+4 c \leq 3$ ，即可得到 $\frac{1}{a+4 c} \geq \frac{1}{3}$ ，再根据权方和不等式即可得证。

【小问 1 详解】

**方法一**：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有 $\left[a^{2}+b^{2}+(2 c)^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \geq(a+b+2 c)^{2}$ ，
所以 $a+b+2 c \leq 3$ ，当且仅当 $a=b=2 c=1$ 时，取等号，所以 $a+b+2 c \leq 3$ ．

**方法二**：基本不等式

由 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b, b^{2}+4 c^{2} \geq 4 b c, a^{2}+4 c^{2} \geq 4 a c$ ，
$(a+b+2 c)^{2}=a^{2}+b^{2}+4 c^{2}+2 a b+4 b c+4 a c \leq 3\left(a^{2}+b^{2}+4 c^{2}\right)=9$,
当且仅当 $a=b=2 c=1$ 时，取等号，所以 $a+b+2 c \leq 3$ ．

【小问 2 详解】

证明：因为 $b=2 c, a>0, b>0, c>0$ ，由①得 $a+b+2 c=a+4 c \leq 3$ ，
即 $0<a+4 c \leq 3$ ，所以 $\frac{1}{a+4 c} \geq \frac{1}{3}$ ，
由权方和不等式知 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1^{2}}{a}+\frac{2^{2}}{4 c} \geq \frac{(1+2)^{2}}{a+4 c}=\frac{9}{a+4 c} \geq 3$ ，
当且仅当 $\frac{1}{a}=\frac{2}{4 c}$ ，即 $a=1, c=\frac{1}{2}$ 时取等号，
所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$ ．
**方法一**：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；
**方法二**：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法。