如图，已知椭圆 x^ 2 12 +y^ 2 =1 ．设 A…——2022 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①$\frac{12 \sqrt{11}}{11}$ ；
（2）$\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ ．

## 【解析】

【分析】（1）设 $Q(2 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ 是椭圆上任意一点，再根据两点间的距离公式求出 $|P Q|^{2}$ ，再根据二

次函数的性质即可求出；
②设直线 $A B: y=k x+\frac{1}{2}$ 与椭圆方程联立可得 $x_{1} x_{2}, x_{1}+x_{2}$ ，再将直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 方程与
$P A , P B$ 的方程分别联立，可解得点 $C, D$ 的坐标，再根据两点间的距离公式求出 $|C D|$ ，最后代入化简可得 $|C D|=\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{16 k^{2}+1}}{|3 k+1|}$ ，由柯西不等式即可求出最小值．

## 【小问 1 详解】

设 $Q(2 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ 是椭圆上任意一点，$P(0,1)$ ，则
$|P Q|^{2}=12 \cos ^{2} \theta+(1-\sin \theta)^{2}=13-11 \sin ^{2} \theta-2 \sin \theta=-11\left(\sin \theta+\frac{1}{11}\right)^{2}+\frac{144}{11} \leq \frac{144}{11}$ ，当且仅当 $\sin \theta=-\frac{1}{11}$ 时取等号，故 $|P Q|$ 的最大值是 $\frac{12 \sqrt{11}}{11}$ ．

## 【小问 2 详解】

设直线 $A B: y=k x+\frac{1}{2}$ ，直线 $A B$ 方程与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ 联立，可得 $\left(k^{2}+\frac{1}{12}\right) x^{2}+k x-\frac{3}{4}=0$ ，设
$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，所以 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=-\frac{k}{k^{2}+\frac{1}{12}} \\ x_{1} x_{2}=-\frac{3}{4\left(k^{2}+\frac{1}{12}\right)}\end{array}\right.$ ，
因为直线 $P A: y=\frac{y_{1}-1}{x_{1}} x+1$ 与直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 交于 $C$ ，
则 $x_{C}=\frac{4 x_{1}}{x_{1}+2 y_{1}-2}=\frac{4 x_{1}}{(2 k+1) x_{1}-1}$ ，同理可得，$x_{D}=\frac{4 x_{2}}{x_{2}+2 y_{2}-2}=\frac{4 x_{2}}{(2 k+1) x_{2}-1}$ ．则
$|C D|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\left|x_{C}-x_{D}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}\left|\frac{4 x_{1}}{(2 k+1) x_{1}-1}-\frac{4 x_{2}}{(2 k+1) x_{2}-1}\right|$
$=2 \sqrt{5}\left|\frac{x_{1}-x_{2}}{\left[(2 k+1) x_{1}-1\right]\left[(2 k+1) x_{2}-1\right]}\right|=2 \sqrt{5}\left|\frac{x_{1}-x_{2}}{(2 k+1)^{2} x_{1} x_{2}-(2 k+1)\left(x_{1}+x_{2}\right)+1}\right|$
$=\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{16 k^{2}+1}}{|3 k+1|}=\frac{6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{16 k^{2}+1} \sqrt{\frac{9}{16}+1}}{|3 k+1|} \geq \frac{6 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{\left(4 k \times \frac{3}{4}+1 \times 1\right)^{2}}}{|3 k+1|}=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$,

当且仅当 $k=\frac{3}{16}$ 时取等号，故 $|C D|$ 的最小值为 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ ．
【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题。