（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C_ 1 : x^ 2…——2012 高考数学第 19 题答案解析

## 【解析】

（1）依题意设椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1(a>2), \because e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
$\therefore \sqrt{1-\frac{4}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore a^{2}=16, \therefore$ 椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
②设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), \because \overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O A}, \therefore O, A, B$ 三点共线且不在 $y$ 轴上，
∴ 设直线 $A B$ 方程为 $y=k x$ ，并分别代入 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 和 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 得：
$x_{1}=\frac{4}{1+4 k^{2}}, x_{2}=\frac{16}{4+k^{2}}, \because \overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O A}, \therefore x_{2}^{2}=4 x_{1}^{2}, \therefore \frac{16}{4+k^{2}}=\frac{16}{1+4 k^{2}}$ ，
$\therefore k= \pm 1$ ，所求直线为：$y=x$ 或 $y=-x$ 。
【考点定位】本题主要考察曲线与方程、椭圆的标准方程，直线与曲线、直线与直线，圆锥曲线的综合问题。掌握通性通法是关键。