（12分）记 S_ n 为等比数列 a_ n 的前 n 项…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【考点】89：等比数列的前 n 项和； 8 E ：数列的求和．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由题意可知 $a_{3}=S_{3}-S_{2}=-6-2=-8, a_{1}=\frac{a_{3}}{q^{2}}=\frac{-8}{q^{2}}, a_{2}=\frac{a_{3}}{q}=\frac{-8}{q}$ ，由a $1^{+} a_{2}=2$ ，列方程即可求得 $q$ 及 $a_{1}$ ，根据等比数列通项公式，即可求得 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②由（1）可知．利用等比数列前 $n$ 项和公式，即可求得 $S_{n}$ ，分别求得 $S_{n+1}, S_{n} { }_{+2}$ ，显然 $S_{n+1}+S_{n+2}=2 S_{n}$ ，则 $S_{n+1}, S_{n}, S_{n+2}$ 成等差数列。

【解答】解：（1）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ ，
则 $\mathrm{a}_{3}=\mathrm{S}_{3}-\mathrm{S}_{2}=-6-2=-8$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=\frac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{q}^{2}}=\frac{-8}{\mathrm{q}^{2}}, \mathrm{a}_{2}=\frac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{q}}=\frac{-8}{\mathrm{q}}$ ，
由 $a_{1}+a_{2}=2, \frac{-8}{q^{2}}+\frac{-8}{q}=2$ ，整理得：$q^{2}+4 q+4=0$ ，解得：$q=-2$ ，
则 $\mathrm{a}_{1}=-2, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=(-2)(-2) \mathrm{n}^{\mathrm{n}-1}=(-2) \mathrm{n}$ ，
$\therefore\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=(-2){ }^{\mathrm{n}}$ ；
②由（1）可知： $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{1}\left(1-\mathrm{q}^{\mathrm{n}}\right)}{1-\mathrm{q}}=\frac{-2\left[1-(-2)^{\mathrm{n}}\right]}{1-(-2)}=-\frac{1}{3}\left[2+(-2)^{\mathrm{n}+1}\right]$ ，
则 $S_{n+1}=-\frac{1}{3}\left[2+(-2)^{n+2}\right], S_{n+2}=-\frac{1}{3}\left[2+(-2)^{n+3}\right]$ ，
由 $S_{n+1}+S_{n+2}=-\frac{1}{3}\left[2+(-2)^{n+2}\right]-\frac{1}{3}\left[2+(-2)^{n+3}\right]$ ，
$=-\frac{1}{3}\left[4+(-2) \times(-2)^{n+1}+(-2)^{2} \times(-2)^{n+1}\right]$ ，
$=-\frac{1}{3}\left[4+2(-2)^{n+1}\right]=2 \times\left[-\frac{1}{3}\left(2+(-2)^{n+1}\right)\right]$ ，

$=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ ，
即 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}+1}+\mathrm{S}_{\mathrm{n}+2}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ ，
$\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}+1}, \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}, \mathrm{S}_{\mathrm{n}+2}$ 成等差数列。
【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前 n 项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．