（13分）（2016•天津）已知 a_ n 是等比数列，前…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（13分）（2016•天津）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}= \frac{2}{a_{3}}, \quad S_{6}=63$.
（1）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）若对任意的 $n \in N^{*}, b_{n}$ 是 $\log _{2} a_{n}$ 和 $\log _{2} a_{n+1}$ 的等差中项，求数列 $\left\{(-1)^{n} b{ }_{n}^{2}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和。
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比 $q$ ，利用求和公式解出 $a_{1}$ ，得出通项公式；
（2）利用对数的运算性质求出 $b_{n}$ ，使用分项求和法和平方差公式计算．
【解答】解：（1）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，则 $\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{1} q}=\frac{2}{a_{1} q^{2}}$ ，即 $1-\frac{1}{q}=\frac{2}{q^{2}}$ ，
解得 $q=2$ 或 $q=-1$ ．

若 $\mathrm{q}=-1$ ，则 $\mathrm{S}_{6}=0$ ，与 $\mathrm{S}_{6}=63$ 矛盾，不符合题意．$\therefore \mathrm{q}=2$ ，
$\therefore S_{6}=\frac{a_{1}\left(1-2^{6}\right)}{1-2}=63, \quad \therefore a_{1}=1$ ．
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}-1}$ ．
②$\because \mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 是 $\log _{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ 和 $\log _{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}$ 的等差中项，
$\therefore \mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\left(\log _{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\log _{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\log _{2} 2^{\mathrm{n}-1}+\log _{2} 2^{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{n}-\frac{1}{2}$ ．
$\therefore \mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=1$ ．
$\therefore\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $\frac{1}{2}$ 为首项，以 1 为公差的等差数列．
设 $\left\{(-1)^{n} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}^{2}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ，则
$\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\left(-\mathrm{b}_{1}{ }^{2}+\mathrm{b}_{2}{ }^{2}\right)+\left(-\mathrm{b}_{3}{ }^{2}+\mathrm{b}_{4}{ }^{2}\right)+\ldots+\left(-\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}-1}{ }^{2}+\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}}{ }^{2}\right)$
$=\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{2}+\mathrm{b}_{3}+\mathrm{b}_{4} \ldots+\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}-1}+\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}}$
$=\frac{b_{1}+b_{2 n}}{2} \cdot 2 n=\frac{\frac{1}{2}+2 n-\frac{1}{2}}{2} \cdot 2 n$
$=2 \mathrm{n}^{2}$ 。
【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．