有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人…——2025 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
$( 1 ) \frac { 4 } { 5 }$

(2 $) 0 . 3 5 , E ( X ) = 1 . 5 5$

> ③ $) p _ { 1 } < p _ { 2 }$

【分析】(1)用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率；

> (2)利用独立事件可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其期望；

> (3)根据题设可得关于 $p _ { 1 } , p _ { 2 }$ 的方程，求出其解后可得它们的大小关系.

解析】(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为 $\frac { 8 0 } { 1 0 0 } = \frac { 4 } { 5 }$

> ②设A为“从甲校抽取1人做对”，则 $P ( A ) = 0 . 8$ ，则 $P ( \bar { A } ) = 0 . 2$

设B为“从乙校抽取1人做对”，则 $P ( B ) = 0 . 7 5$ ,则 $P ( \bar { A } ) = 0 . 2 5$

设C为“恰有1人做对”，故 $P ( C ) = P ( A { \bar { B } } ) + P ( { \bar { A } } B ) = P ( A ) P ( { \bar { B } } ) + P ( { \bar { A } } ) P ( B ) = 0 . 3 5$

而X可取0,1,2，

$$ P ( X = 0 ) = P ( \bar { A } \bar { B } ) = 0 . 0 5 , P ( X = 1 ) = 0 . 3 5 , P ( X = 2 ) = 0 . 8 \times 0 . 7 5 = 0 . 6 , $$

故X的分布列如下表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>X</td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>P</td><td rowspan=1 colspan=1>0.05</td><td rowspan=1 colspan=1>0.35</td><td rowspan=1 colspan=1>0.6</td></tr></table>

故 $E ( X ) = 1 \times 0 . 3 5 + 2 \times 0 . 6 = 1 . 5 5 .$

> ③设D为“甲校掌握该知识的学生”，

因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，

未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，

故 $P ( D ) + \frac { 1 } { 4 } \left( 1 - P ( D ) \right) = 0 .$ 8即 $p _ { 1 } + \frac { 1 } { 4 } \times ( 1 - p _ { 1 } ) = 0 . 8$ ,故 $p _ { 1 } { = } \frac { 1 1 } { 1 5 }$

同理有 $0 . 8 5 p _ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \times ( 1 - p _ { 2 } ) = 0 . 7 5$ ,故 $p _ { 2 } = \frac { 5 } { 6 }$

故 $p _ { 1 } < p _ { 2 }$