事件的独立性　·　历年高考数学真题与解析

12．在信道内传输 0,1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 1 的概率为 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，收到 0 的概率为 $1-\alpha$ ；发送 1 时，收到 0 的概率为 $\beta(0<\beta<1)$ ，收到 1 的概率为 $1-\beta$ ．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输。单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号重复发送 3 次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 $1,0,1$ ，则译码为 1 ）。

13．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 $5: 4: 6$ ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $40 \%, 25 \%, 50 \%$ 。现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 $\_\_\_\_$ ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 $\_\_\_\_$。

14.

甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{1}{5}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 $\_\_\_\_$ ， 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 $\_\_\_\_$。

18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（II）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；
（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小。（结论不要求证明）

19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．

18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区： 62738192958574645376
78869566977888827689
B地区： 73836251914653736482
93486581745654766579
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即

可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C：＂A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级＂，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率．

19．（本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $\mathrm{T}, \mathrm{T}$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：

（I）求 T 的分布列与数学期望 ET；
（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率．

16．（13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ，一场不超过 0.6 的概率；
（3）记 $\overline{\mathrm{x}}$ 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 x 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 EX 与 $\overline{\mathrm{x}}$ 的大小（只需写出结论）。

17．某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，现安排甲组研发新产品 $A$ ，乙组研发新产品 $B$ ．设甲，乙两组的研发是相互独立的．

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品 $A$ 研发成功，预计企业可获得 120 万元，若新产品 $B$ 研发成功，预计企业可获得利润 100 万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望。

20．（ 12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0 ．
$6,0.5,0.5,0.4, ~$ 各人是否需使用设备相互独立．
（I）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；
（II）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求＂同一工作日需使用设备的人数大于 k ＂的概率小于 0.1 ，求 k 的最小值．

19、（本小题满分 12 分）

甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ 。假设各局比赛结果相互独立。
（I）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（II）若比赛结果为3： 0 或3： 1 ，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得 1 分。求乙队得分 $X$ 的分布列和数学期望。

19．（本小题满分 12 分）
在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手（1 至 5 号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手。

各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名选手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名。观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3名歌手。
（I）求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；
（II） X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列和数学期望．

20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（I）求第4局甲当裁判的概率；

## （II）求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率．

（21）（本小题满分 13 分）
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 $n$ 位学生，每次活动均需该系 $k$ 位学生参加（ $n$ 和 $k$ 都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 $k$ 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 $x$
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使 $P(X=m)$ 取得最大值的整数 $m$．

15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 $N\left(1000,50^{2}\right)$ ，且各个元件能否正常相互独立 ，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{8}$ ．

19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（I）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；
（II）$\xi$ 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 $\xi$ 的期望。

20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球两次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 ： 2 的概率；
（2）求开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率．

18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）。有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
②设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E \xi$ ．

18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3．设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（II）X表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

20．（12分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电流能通过 $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}$ 的概率都是 P ，电流能通过 $\mathrm{T}_{4}$ 的概率是 0.9 ，电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999

（I）求 $P$ ；
（II）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率．

20．（12分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电流能通过 $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}$ 的概率都是 P ，电流能通过 $\mathrm{T}_{4}$ 的概率是 0.9 ，电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为0．999．
（I）求 P ；

（II）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率．

9．有 $n$ 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 $p(0

18．（12分）（2009•陕西）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 $0,1,2$的概率分别为 $0.4,0.5,0.1$
（I）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。

19．（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量 $\xi$ 的概率分布如下：

（I）求 a 的值和 $\xi$ 的数学期望；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。

（19）（本小题满分 12 分）
某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ 。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 $1: 3: 6$ 。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。
（I）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
（II）若目标被击中 2 次，$A$ 表示事件＂第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 $"$ ，求 $P(A)$

20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，各局比赛结果相互独立．已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局．
（I）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；
（II）求甲获得这次比赛胜利的概率．

16．（本小题满分 12 分）
甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少一人面试合格的概率；
（II）没有人签约的概率。

（18）（本小题满分 12 分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$ ，且乙投球 2 次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$ ．
（I）求乙投球的命中率 $p$ ；
（II）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；
（III）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率．

18．（本小题满分 12 分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：

（I）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率；
（II）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元，$\xi$ 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 $\xi$ 的分布列和数学期望．

18．（ 12 分）（ $2008 \cdot$ 四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（I）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（II）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（III）记 $\xi$ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 $\xi$ 的分布列及期望。

19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 $0.6,0.3,0.1$ ，乙击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 $0.4,0.4,0.2$ ．

设甲、乙的射击相互独立．
（I）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（II）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率。