2016_上海卷 (2016·理)
21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于
$A, B$ 两点．
（1）若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \Delta F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$ 的斜率存在，且 $\left(\overrightarrow{F_{1} A}+\overrightarrow{F_{1} B}\right) \cdot \overrightarrow{A B}=0$，求 $l$ 的斜率．
【答案】
①$y= \pm \sqrt{2} x$；
②$\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$．
## 【解析】
试题分析：（1）设 $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}, y_{\mathrm{A}}\right)$，根据题设条件得到 $4\left(1+b^{2}\right)=3 b^{4}$，从而解得 $b^{2}$ 的值．
（2）设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$，直线 $l: y=k(x-2)$ 与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据 $l$ 与双曲线交于两点，可得 $k^{2}-3 \neq 0$，且 $\Delta=36\left(1+k^{2}\right)>0$。再设 AB 的中点为 $\mathrm{M}\left(x_{\mathrm{M}}, y_{\mathrm{M}}\right)$，由 $\left(\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~A}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~B}}\right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ 即 $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$，从而得到 $k_{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}} \cdot k=-1$，进而构建关于 $k$ 的方程求解即可．
试题解析：（1）设 $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}, y_{\mathrm{A}}\right)$．
由题意， $\mathrm{F}_{2}(c, 0), c=\sqrt{1+b^{2}}, y_{A}^{2}=b^{2}\left(c^{2}-1\right)=b^{4}$，
因为 $\Delta \mathrm{F}_{1} \mathrm{AB}$ 是等边三角形，所以 $2 c=\sqrt{3}\left|y_{\mathrm{A}}\right|$，
即 $4\left(1+b^{2}\right)=3 b^{4}$，解得 $b^{2}=2$．
故双曲线的渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{2} x$．
②由已知，$F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$．
设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$，直线 $l: y=k(x-2)$．显然 $k \neq 0$．
由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1 \\ y=k(x-2)\end{array}\right.$，得 $\left(k^{2}-3\right) x^{2}-4 k^{2} x+4 k^{2}+3=0$．
因为 $l$ 与双曲线交于两点，所以 $k^{2}-3 \neq 0$，且 $\Delta=36\left(1+k^{2}\right)>0$．
设 AB 的中点为 $\mathrm{M}\left(x_{\mathrm{M}}, y_{\mathrm{M}}\right)$．
由 $\left(\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~A}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~B}}\right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ 即 $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$，知 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{M} \perp \mathrm{AB}$，故 $k_{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}} \cdot k=-1$，
而 $x_{\mathrm{M}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{2 k^{2}}{k^{2}-3}, y_{\mathrm{M}}=k\left(x_{\mathrm{M}}-2\right)=\frac{6 k}{k^{2}-3}, k_{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}}=\frac{3 k}{2 k^{2}-3}$，
所以 $\frac{3 k}{2 k^{2}-3} \cdot k=-1$，得 $k^{2}=\frac{3}{5}$，故 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$．
考点：1．双曲线的几何性质；2．直线与双曲线的位置关系；3．平面向量的数量积．