（5分）已知抛物线 C： y^ 2 =8 x 的焦点为 F…——2013 高考数学第 12 题答案解析

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 $\mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-2)$ ，代入抛物线方程，利用 $\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}= \left(x_{1}+2, y_{1}-2\right) \cdot\left(x_{2}+2, y_{2}-2\right)=0$ ，即可求出 $k$ 的值．

【解答】解：由抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 得焦点 $(2,0)$ ，
由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 $\mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-2)$ ，
代入抛物线方程，得到 $k^{2} x^{2}-\left(4 k^{2}+8\right) x+4 k^{2}=0, \Delta>0$ ，
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ．
$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=4+\frac{8}{\mathrm{k}^{2}}, \quad \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=4$ ．
$\therefore \mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}=\frac{8}{\mathrm{k}}, \quad \mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}=-16$ ，
又 $\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$ ，
$\therefore \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=\left(x_{1}+2, y_{1}-2\right) \cdot\left(x_{2}+2, y_{2}-2\right)=\frac{16}{k^{2}}-\frac{16}{k}+4=0$
$\therefore \mathrm{k}=2$ ．

故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．