（9）过抛物线 y^ 2 =4 x 的焦点 F 的直线交该…——2012 高考数学第 9 题答案解析

【答案】C

【解析】

法－：由题可知焦点 $F(1,0)$ ，设点 $A\left(x_{A}, y_{A}\right), B\left(x_{B}, y_{B}\right)$ 由 $|A F|=3$ ，则 $x_{A}=2$ ，即 $A(2,2 \sqrt{2})$ ，故直线 $A B: y=2 \sqrt{2}(x-1)$ ，联立方程可得 $2 x^{2}-5 x+2=0$ ，解得 $x_{B}=\frac{1}{2}$ ，即 $B\left(\frac{1}{2},-\sqrt{2}\right)$ ，所以 $\triangle \mathrm{AOB}$ 的面积 $S=\frac{1}{2} \times 1 \times(2 \sqrt{2}+\sqrt{2})=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，选 C 。

法二：设 $\angle A F x=\theta(0<\theta<\pi)$ 及 $|B F|=m$ ；则点 $A$ 到准线 $l: x=-1$ 的距离为 3 ，
得： $3=2+3 \cos \theta \Leftrightarrow \cos \theta=\frac{1}{3}$ 又 $m=2+m \cos (\pi-\theta) \Leftrightarrow m=\frac{2}{1+\cos \theta}=\frac{3}{2}$ ，
$\triangle A O B$ 的面积为 $S=\frac{1}{2} \times|O F| \times|A B| \times \sin \theta=\frac{1}{2} \times 1 \times\left(3+\frac{3}{2}\right) \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，选 C 。
【考点定位】考查抛物线的性质。