记 S_ n 为数列 a_ n 的前 n 项和，设甲： a…——2023 高考数学第 7 题答案解析

## 【答案】C

## 【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前 $n$ 项和与第 $n$ 项的关系推理判断作答。

【详解】方法 1，甲：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，设其首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，
则 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d, \frac{S_{n}}{n}=a_{1}+\frac{n-1}{2} d=\frac{d}{2} n+a_{1}-\frac{d}{2}, \frac{S_{n+1}}{n+1}-\frac{S_{n}}{n}=\frac{d}{2}$ ，
因此 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，即 $\frac{S_{n+1}}{n+1}-\frac{S_{n}}{n}=\frac{n S_{n+1}-(n+1) S_{n}}{n(n+1)}=\frac{n a_{n+1}-S_{n}}{n(n+1)}$ 为常数，设为 $t$ ，

即 $\frac{n a_{n+1}-S_{n}}{n(n+1)}=t$ ，则 $S_{n}=n a_{n+1}-t \cdot n(n+1)$ ，有 $S_{n-1}=(n-1) a_{n}-t \cdot n(n-1), n \geq 2$ ，
两式相减得：$a_{n}=n a_{n+1}-(n-1) a_{n}-2 t n$ ，即 $a_{n+1}-a_{n}=2 t$ ，对 $n=1$ 也成立，

因此 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件， C 正确．
方法 2，甲：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，即 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d$ ，则 $\frac{S_{n}}{n}=a_{1}+\frac{(n-1)}{2} d=\frac{d}{2} n+a_{1}-\frac{d}{2}$ ，因此 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，即 $\frac{S_{n+1}}{n+1}-\frac{S_{n}}{n}=D, \frac{S_{n}}{n}=S_{1}+(n-1) D$ ，
即 $S_{n}=n S_{1}+n(n-1) D, ~ S_{n-1}=(n-1) S_{1}+(n-1)(n-2) D$ ，
当 $n \geq 2$ 时，上两式相减得：$S_{n}-S_{n-1}=S_{1}+2(n-1) D$ ，当 $n=1$ 时，上式成立，
于是 $a_{n}=a_{1}+2(n-1) D$ ，又 $a_{n+1}-a_{n}=a_{1}+2 n D-\left[a_{1}+2(n-1) D\right]=2 D$ 为常数，
因此 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．
故选：C