( 1 3 + x )^ 10 的展开式中，各项系数的最大…——2024 高考数学第 13 题答案解析

【答案】5

【解析】

【分析】先设展开式中第 $r + 1$ 项系数最大，则根据通项公式有 $\left\{ \begin{array}{l} C_{10}^{r} \left( \frac{1}{3} \right)^{10 - r} \geq C_{10}^{r + 1} \left( \frac{1}{3} \right)^{9 - r} \\ C_{10}^{r} \left( \frac{1}{3} \right)^{10 - r} \geq C_{10}^{r - 1} \left( \frac{1}{3} \right)^{11 - r} \end{array} \right.$ ，进而求出 $r$ 即

可求解.

【详解】由题展开式通项公式为 $T_{r+1}=C_{10}^{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{10-r}x^{r}$ ， $0\leq r\leq10$ 且 $r\in Z$ ，

设展开式中第 $r + 1$ 项系数最大，则 $\left\{ \begin{array}{l} \mathrm{C}_{10}^{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{10 - r} \geq \mathrm{C}_{10}^{r + 1}\left(\frac{1}{3}\right)^{9 - r} \\ \mathrm{C}_{10}^{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{10 - r} \geq \mathrm{C}_{10}^{r - 1}\left(\frac{1}{3}\right)^{11 - r} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} r \geq \frac{29}{4}, \\ r \leq \frac{33}{4}, \end{array} \right.$ 即 $\frac{29}{4} \leq r \leq \frac{33}{4}$ ，又 $r \in \mathbf{Z}$ ，故 $r = 8$ ，

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 $C_{10}^{8}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=5$ .

故答案为：5.