2019_江苏卷 (2019)
12．如图，在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 的中点，$E$ 在边 $A B$ 上，$B E=2 E A, A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ．若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=6 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是 $\underline{\Delta}$ ．
$\sqrt{3}$ ．
【解答】
如图，在 $\bigvee A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 的中点，$E$ 在边 $A B$ 上，$B E=2 E A, A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ．若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=6 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．
【答案】 $\sqrt{3}$ ．
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值．
【详解】如图，过点 $D$ 作 $D F / / C E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，由 $B E=2 E A, D$ 为 $B C$ 中点，知 $B F=F E=E A, A O=O D$ ．
$6 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{E C}=3 \overrightarrow{A D} \cdot(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A E})=\frac{3}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A E})$
$=\frac{3}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot\left(\overrightarrow{A C}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}\right)=\frac{3}{2}\left(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A C}^{2}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\right)$
$=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A C}^{2}\right)=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}^{2}+\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}^{2}=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ ，
得 $\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}^{2}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}^{2}$ ，即 $|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{A C}|$ ，故 $\frac{A B}{A C}=\sqrt{3}$ ．
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合和方程思想解题．
在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 为 $B C$ 中点，$E$ 为 $A D$ 中点，则以下结论：①存在 $\triangle A B C$ ，使得 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C E}=0$ ；②存在三角形 $\triangle A B C$ ，使得 $\overrightarrow{C E} / /(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A})$ ；它们的成立情况是（ ）
对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是（ ）
平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b}(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$（ ）