（14分）（2013 •广东）设数列 a_ n 的前 n…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（14分）（2013 •广东）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, \frac{2 S_{n}}{n}=a_{n+1}-\frac{1}{3} n^{2}-n-\frac{2}{3}, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $\mathrm{a}_{2}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{7}{4}$ ．

考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合。
专题：等差数列与等比数列．
分析：
（1）利用已知 $a_{1}=1, \frac{2 S_{n}}{n}=a_{n+1}-\frac{1}{3} n^{2}-n-\frac{2}{3}, n \in N^{*}$ 。令 $n=1$ 即可求出；
（2）利用 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n \geq 2)$ 即可得到 $n a_{n+1}=(n+1) a_{n}+n(n+1)$ ，可化为 $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n}+1$ ，
$\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=1$ ．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）利用②，通过放缩法 $\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{(n-1) n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}(n \geq 2)$ 即可证明．

解答：
解：（1）当 $n=1$ 时，$\frac{2 S_{1}}{1}=2 a_{1}=a_{2}-\frac{1}{3}-1-\frac{2}{3}$ ，解得 $a_{2}=4$
② $2 S_{n}=n a_{n+1}-\frac{1}{3} n^{3}-n^{2}-\frac{2}{3} n$①
当 $n \geq 2$ 时， $2 S_{n-1}=(n-1) \quad a_{n}-\frac{1}{3}(n-1)^{3}-(n-1)^{2}-\frac{2}{3}(n-1)$
①－②得 $2 a_{n}=n a_{n+1}-(n-1) a_{n}-n^{2}-n$
整理得 $n a_{n+1}=(n+1) a_{n}+n(n+1)$ ，即 $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n}+1, \frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=1$
当 $n=1$ 时，$\quad \frac{a_{2}}{2}-\frac{a_{1}}{1}=2-1=1$
所以数列 $\left\{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}\right\}$ 是以1为首项，1为公差的等差数列
所以 $\frac{a_{n}}{n}=n$ ，即 $a_{n}=n^{2}$
所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=n^{2}, n \in N^{*}$
（3）因为 $\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}=\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}<\frac{1}{(\mathrm{n}-1) \mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{n}-1}-\frac{1}{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \geq 2)$
所以 $\frac{1}{\mathrm{a}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{2}}+\cdots+\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}<1+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\mathrm{n}^{2}-1}-\frac{1}{\mathrm{n}}\right) =1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{\mathrm{n}}=\frac{7}{4}-\frac{1}{\mathrm{n}}<\frac{7}{4}$
点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前 $n$ 项和的关系 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1} ~(n \geq 2) ~$ 、裂项求和及其放缩法等是解题的关键。