2011 高考数学第 19 题答案解析

19、（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}$ 为 $a(a \in R)$ 设数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；
（II）记 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\frac{1}{S_{3}}+\ldots+\frac{1}{S_{n}}, \mathrm{~B}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2} n-1}$ ，当 $\mathrm{a} \geq 2$ 时，试比较 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 与 $\mathrm{B}_{\mathrm{n}}$ 的大小。
考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（I）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得 $d$ ，则数列的通项公式和前 $n$ 项的和可得。
（II）利用（I）的 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ ，最后对 $a>0$ 和 $a<0$两种情况分情况进行比较。