（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列 a_ n…——2011 高考数学第 19 题答案解析

解答：解：（I ）设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公差为 d ，由 $\left(\frac{1}{a_{2}}\right)^{2}=\frac{1}{a_{1}} \cdot \frac{1}{a_{4}}$ ，

得 $\left(a_{1}+d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+3 d\right)$ ，因为 $d \neq 0$ ，所以 $d=a_{1}=a$

所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{na}, \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{(\mathrm{n}+1) n \mathrm{a}}{2}$
（II）解：$\because \frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{a}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
$\therefore \mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\frac{1}{S_{3}}+\ldots+\frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{a}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$
$\because a_{2^{n-1}}=2^{n-1} a$ ，所以
$\mathrm{B}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2^{n-1}}}=\frac{1}{a} \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right) \quad n}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{a} \cdot\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)$

当 $n \geq 2$ 时， $2^{n}=C_{n}{ }^{0}+C_{n}{ }^{1}+\ldots+C_{n}{ }^{n}>n+1$ ，即 $1-\frac{1}{n+1}<1-\frac{1}{2^{n}}$

所以，当 $a>0$ 时，$A_{n}B_{n}$ ．
点评：本题主要考查了等差数列的性质。涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了基础知识的运用．