（本小题满分16分） 设 a_ n 是首项为 a_ 1，公…——2018 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分 $\mathbf{1 6}$ 分．

解：（1）由条件知：$a_{n}=(n-1) d, b_{n}=2^{n-1}$ ．

因为 $\left|a_{n}-b_{n}\right| \leq b_{1}$ 对 $n=1,2,3,4$ 均成立，
即 $\left|(n-1) d-2^{n-1}\right| \leq 1$ 对 $n=1,2,3,4$ 均成立，
即 $1 \leq 1,1 \leq d \leq 3,3 \leq 2 d \leq 5,7 \leq 3 d \leq 9$ ，得 $\frac{7}{3} \leq d \leq \frac{5}{2}$ 。
因此，$d$ 的取值范围为 $\left[\frac{7}{3}, \frac{5}{2}\right]$ ．
②由条件知：$a_{n}=b_{1}+(n-1) d, b_{n}=b_{1} q^{n-1}$ 。
若存在 $d$ ，使得 $\left|a_{n}-b_{n}\right| \leq b_{1} \quad(n=2,3, \cdots, m+1)$ 成立，

即 $\left|b_{1}+(n-1) d-b_{1} q^{n-1}\right| \leq b_{1}(n=2,3, \cdots, m+1)$,
即当 $n=2,3, \cdots, m+1$ 时，$d$ 满足 $\frac{q^{n-1}-2}{n-1} b_{1} \leq d \leq \frac{q^{n-1}}{n-1} b_{1}$ ．
因为 $q \in(1, \sqrt[m]{2}]$ ，则 $1从而 $\frac{q^{n-1}-2}{n-1} b_{1} \leq 0, \frac{q^{n-1}}{n-1} b_{1}>0$ ，对 $n=2,3, \cdots, m+1$ 均成立。
因此，取 $d=0$ 时，$\left|a_{n}-b_{n}\right| \leq b_{1}$ 对 $n=2,3, \cdots, m+1$ 均成立．
下面讨论数列 $\left\{\frac{q^{n-1}-2}{n-1}\right\}$ 的最大值和数列 $\left\{\frac{q^{n-1}}{n-1}\right\}$ 的最小值 $(n=2,3, \cdots, m+1)$ ．
（1）当 $2 \leq n \leq m$ 时，$\frac{q^{n}-2}{n}-\frac{q^{n-1}-2}{n-1}=\frac{n q^{n}-q^{n}-n q^{n-1}+2}{n(n-1)}=\frac{n\left(q^{n}-q^{n-1}\right)-q^{n}+2}{n(n-1)}$ ，
当 $10$ ．
因此，当 $2 \leq n \leq m+1$ 时，数列 $\left\{\frac{q^{n-1}-2}{n-1}\right\}$ 单调递增，
故数列 $\left\{\frac{q^{n-1}-2}{n-1}\right\}$ 的最大值为 $\frac{q^{m}-2}{m}$ ．
②设 $f(x)=2^{x}(1-x)$ ，当 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)=(\ln 2-1-x \ln 2) 2^{x}<0$ ，
所以 $f(x)$ 单调递减，从而 $f(x)当 $2 \leq n \leq m$ 时，$\frac{\frac{q^{n}}{n}}{\frac{q^{n-1}}{n-1}}=\frac{q(n-1)}{n} \leq 2^{\frac{1}{n}}\left(1-\frac{1}{n}\right)=f\left(\frac{1}{n}\right)<1$ ，
因此，当 $2 \leq n \leq m+1$ 时，数列 $\left\{\frac{q^{n-1}}{n-1}\right\}$ 单调递减，
故数列 $\left\{\frac{q^{n-1}}{n-1}\right\}$ 的最小值为 $\frac{q^{m}}{m}$ ．
因此， $\boldsymbol{d}$ 的取值范围为 $\left[\frac{b_{1}\left(q^{m}-2\right)}{m}, \frac{b_{1} q^{m}}{m}\right]$ ．

## 数学 II（附加题）