设 a, b R，数列 a_ n 中， a_ 1 =a,…——2019 高考数学第 10 题答案解析

【答案】A

## 【解析】

【分析】
本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查。本题从确定不动点出发，通过研究选项得解。

【详解】选项 B：不动点满足 $x^{2}-x+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$ 时，如图，若 $a_{1}=a \in\left(0, \frac{1}{2}\right), a_{n}<\frac{1}{2}$ ，
排除

如图，若 $a$ 为不动点 $\frac{1}{2}$ 则 $a_{n}=\frac{1}{2}$
选项 C：不动点满足 $x^{2}-x-2=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}=0$ ，不动点为 $\frac{\mathrm{ax}-1}{2}$ ，令 $a=2$ ，则 $a_{n}=2<10$ ，
排除
选项 D：不动点满足 $x^{2}-x-4=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{17}{4}=0$ ，不动点为 $x=\frac{\sqrt{17}}{2} \pm \frac{1}{2}$ ，令 $a=\frac{\sqrt{17}}{2} \pm \frac{1}{2}$ ，则

$a_{n}=\frac{\sqrt{17}}{2} \pm \frac{1}{2}<10$ ，排除．
选项 A ：证明：当 $b=\frac{1}{2}$ 时，$a_{2}=a_{1}^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}, a_{3}=a_{2}^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{3}{4}, a_{4}=a_{3}^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{17}{16} \geq 1$ ，
处理一：可依次迭代到 $a_{10}$ ；
处理二：当 $n \geq 4$ 时，$a_{n+1}=a_{n}^{2}+\frac{1}{2} \geq a_{n}^{2} \geq 1$ ，则则
$a_{n+1} \geq\left(\frac{17}{16}\right)^{2^{n-1}}(n \geq 4)$ ，则 $a_{10} \geq\left(\frac{17}{16}\right)^{2^{6}}=\left(1+\frac{1}{16}\right)^{64}=1+\frac{64}{16}+\frac{64 \times 63}{2} \times \frac{1}{16^{2}}+\ldots \ldots>1+4+7>10$ ．
故选 A
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展．利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 $a$的可能取值，利用＂排除法＂求解．

## 非选择题部分（共 110 分）