19．已知双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=m(m>0)$ ，点 $P_{1}(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数， $0 记 $P_{n}$ 的坐标为 $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．
（1）若 $k=\frac{1}{2}$ ，求 $x_{2}, y_{2}$ ；
（2）证明：数列 $\left\{x_{n}-y_{n}\right\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；
③设 $S_{n}$ 为 $\Delta P_{n} P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n, S_{n}=S_{n+1}$ ．
参考答案(1) $x_{2}=3, y_{2}=0$; (2) 证明见解析; (3) 证明见解析