2017 新课标 III 卷 · 文 数学

（5分）已知集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\{2,4,6,8\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为

（5分）复平面内表示复数 $z=i(-2+i)$ 的点位于

（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。

根据该折线图，下列结论错误的是

（5分）已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{4}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-6 \leqslant 0 \\ x \geqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=x-y$ 的取值范围是（ ）

（5分）函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值为（ ）

（5分）函数 $y=1+x+\frac{\sin x}{x^{2}}$ 的部分图象大致为

（5分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91 ，则输入的正整数 N 的最小值为（ ）

（5分）已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

（5分）在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱CD的中点，则（）

（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为（ ）

（5分）已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点，则 $a=$（ ）

（5分）已知向量 $\vec{a}=(-2,3), \vec{b}=(3, m)$ ，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{3}{5} x$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 5

（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60，b＝$\sqrt{6}, ~ c =3$ ，则 $\mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ $75^{\circ}$。

（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \leqslant 0 \\ 2^{x}, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$ ．

（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-1) a_{n}=2 n$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{{ }^{a} n}{2 n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y=x^{2}+m x-2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$的坐标为 $(0,1)$ ，当 m 变化时，解答下列问题：
①能否出现 $A C \perp B C$ 的情况？说明理由；
②证明过 $A , B , C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值．

（12分）已知函数 $f(x)=\ln x+a x^{2}+(2 a+1) x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $a<0$ 时，证明 $f(x) \leq-\frac{3}{4 a}-2$ ．