2017 新课标 II 卷 · 文 数学

（5分）设集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}$ ，则 $A \cup B=$（）

（5分）$(1+\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=(\quad)$

（ 5 分）函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的最小正周期为

（5分）设非零向量 $\vec{a}$ ，鬲满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ 则

（5分）若 $a>1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ 的离心率的取值范围是（）

（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-3 \leqslant 0 \\ 2 x-3 y+3 \geqslant 0 \\ y+3 \geqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=2 x+y$ 的最小值是

（5分）函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8\right)$ 的单调递增区间是（ ）

（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）

（5分）执行如图的程序框图，如果输入的 $\mathrm{a}=-1$ ，则输出的 $\mathrm{S}=$（ ）

（5分）从分别写有1，2，3，4，5的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（

（5分）过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ ，且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于点 $M$（ $M$ 在 $x$轴上方）， $\mid$ 为 $C$ 的准线，点 $N$ 在 $I$ ，且 $M N \perp I$ ，则 $M$ 到直线 $N F$ 的距离为（ ）

（5分）函数 $f(x)=2 \cos x+\sin x$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{5}$ ．

（5分）已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$f(x$ ）$=2 x^{3}+x^{2}$ ，则 $f(2)=$ $\_\_\_\_$ 12 ．

（5分）长方体的长、宽、高分别为 $3,2,1$ ，其顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为 $\_\_\_\_$ $14 \pi$ ．

（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $2 b \cos B=a \cos C+\cos A$ ，则 $B=-\frac{\pi}{3}$－

（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $\mathrm{a}_{1}=-1, \quad \mathrm{~b}_{1}=1, \quad \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{2}=2$.
（1）若 $a_{3}+b_{3}=5$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $T_{3}=21$ ，求 $S_{3}$ ．

（12分）如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D, \quad A B=B C=\frac{1}{2} A D, \quad \angle B A D=\angle A B C=90^{\circ}$ ．
（1）证明：直线 $B C \|$ 平面 $P A D$ ；
（2）若 $\triangle P C D$ 面积为 $2 \sqrt{7}$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积．

（12分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 上，过 M 作 x 轴的垂线 ，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{N P}=\sqrt{2} \overrightarrow{N M}$ ．
（1）求点 p 的轨迹方程；
②设点 Q 在直线 $\mathrm{x}=-3$ 上，且 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=1$ ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 $l$ 过 C的左焦点 F ．

（12分）设函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right) e^{x}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq a x+1$ ，求 $a$ 的取值范围．

（10分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \theta=4$ ．
① M 为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 $|\mathrm{OM}| \cdot|\mathrm{OP}|=16$ ，求点 P 的轨迹 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程；
②设点 A 的极坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ ，点 B 在曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 上，求 $\triangle \mathrm{OAB}$ 面积的最大值．

已知 $a>0, b>0, a^{3}+b^{3}=2$ ．证明：
①$(a+b)\left(a^{5}+b^{5}\right) \geq 4$ ；
②$a+b \leq 2$ ．