2017 江苏卷 数学

（5 分）已知集合 $A = \left\{ 1 , 2 \right\} , \mathsf { B } = \left\{ \mathsf { a } , \mathsf { a } ^ { 2 } + 3 \right\}$ ．若 $A \cap { \mathsf { B } } = \left\{ 1 \right\}$ }，则实数 a 的值为

（5分）已知复数 $z = \mathrm { ~ ( } 1 \mathrm { + i } \mathrm { ) } \mathrm { ~ ( } 1 \mathrm { + } 2 \mathrm { i } \mathrm { ) }$ ），其中i 是虚数单位，则z的模是

（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件

（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为 $\frac { 1 } { 1 6 }$ ，则输出y的值是

（5 分）若 $\tan ( \alpha - \frac { \pi } { 4 } ) = \frac { 1 } { 6 }$ ．则 tanα=

（5分）如图，在圆柱 $0 _ { 1 } 0 _ { 2 }$ 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 $0 _ { 1 } 0 _ { 2 }$ 的体积为 $\mathsf { V } _ { 1 }$ ，球O的体积为 $\mathsf { V } _ { 2 }$ ，则 $\frac { { \mathbb Y } _ { 1 } } { { \mathbb Y } _ { 2 } }$ 的值是

（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { 3 } - \texttt { y } ^ { 2 } = 1$ 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是 $\mathsf { F } _ { 1 } , \mathsf { F } _ { 2 }$ ，则四边形 $\mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { P F } _ { 2 } \mathsf { Q }$ 的面积是

（5分）等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的各项均为实数，其前n 项为 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ ，已知 $S _ { 3 } = \frac { 7 } { 4 } , S _ { 6 } = \frac { 6 3 } { 4 }$ 9则 $\mathtt { a } _ { 8 } =$

（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是

（5 分）已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - 2 x + e ^ { x } - \frac { 1 } { e ^ { x } }$ ，其中 e 是自然对数的底数．若 f$( { \mathsf { a } } - 1 ) \ + { \mathsf { f } } \ ( 2 { \mathsf { a } } ^ { 2 } ) \ \leqslant 0$ ．则实数a的取值范围是

（5分）如图，在同一个平面内，向量 $\overrightarrow { O A } , \overrightarrow { O B } , \overrightarrow { O C }$ 的模分别为 $1 , \ 1 , \ { \sqrt { 2 } } , \ { \overrightarrow { \mathrm { O A } } }$ 与 $\overrightarrow { \mathrm { O C } }$ 的夹角为 α，且 tanα=7， 与 $\overrightarrow { \mathrm { O C } }$ 的夹角为 45°．若 $\overrightarrow { O C } = m \overrightarrow { O A } + n \overrightarrow { O B } ( m , n \in$ R），则 m+n=

(5 分) 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上且周期为 1 的函数，在区间 $[0, 1)$ 上，$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \in D \\ x, & x \notin D \end{cases}$，其中集合 $D = \left\{ x \,\middle|\, x = \frac{n-1}{n},\, n \in \mathbb{N}^* \right\}$，则方程 $f(x) - \lg x = 0$ 的解的个数是______．

（14 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中， $A B \bot A D , B C \bot B D$ ，平面 $\mathsf { A B D \perp }$ 平面BCD，点E、F（E 与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且 $E F \bot A D$

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2） ${ \mathsf { A D \bot A C . } }$

（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $\mathsf { F } _ { 1 } , \mathsf { F } _ { 2 } ,$ ，离心率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点 $\mathsf { F } _ { 1 }$ 作直线 $\mathsf { P F } _ { 1 }$ 的垂线 $\mathsf { I } _ { 1 }$ ，过点 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 作直线 ${ \mathsf { P F } } _ { 2 }$ 的垂线 $\mathsf { I } _ { 2 }$

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线 $\mathsf { I } _ { 1 }$ ， $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的交点Q在椭圆E 上，求点P的坐标

如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C， $\mathsf { A P \bot P C }$ ，P为垂足求证：① $\angle P A C = \angle C A B$

② $\mathsf { A C } ^ { 2 } = \mathsf { A P bullet A B }$

已知矩阵 $\mathsf { A } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \mathsf { B } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right]$

（1）求 AB；

（2）若曲线 $\mathsf C _ { 1 } \colon \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { \partial \mathtt { x } ^ { 2 } } { \partial \mathtt { x } } + } \frac { \mathtt { y } ^ { 2 } } { 2 } \overset = { = } 1$ 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 ${ \sf C } _ { 2 }$ ，求${ \sf C } _ { 2 }$ 的方程

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = - 8 + t } \\ { \mathbf { y } = \displaystyle \frac { t } { 2 } } \end{array} \right.$ （t为参数），曲线 C 的参数方程为 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 2 \mathbf { s } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { y } = 2 { \sqrt { 2 } } \mathbf { s } } \end{array} \right. }$ （s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线l 的距离的最小值

已知a，b，c，d为实数，且 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 4 , c ^ { 2 } + d ^ { 2 } = 1 6$ ，证明 $a c + b d \leqslant 8$

［选修 4-5：不等式选讲］

【必做题】