2017 天津卷 数学

（5分）设集合A={1，2，6}， $B = \{ 2 , \ 4 \}$ ${ \mathsf C } = \{ 1 , \ 2 , \ 3 , \ 4 \}$ ，则 $( A \cup \mathsf { B } ) \cap \mathsf { C }$ =（　　）

（5分）设x∈R，则 $u _ { 2 } \textrm { - } \mathbf { x } \geqslant 0 ^ { \prime \prime }$ 是 $" | \bigstar - 1 | \leqslant 1 \prime \prime$ 的（　　）

（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）
A． $\frac { 4 } { 5 }$ B． $\frac { 3 } { 5 }$ C $\frac { 2 } { 5 }$ D $\frac { 1 } { 5 }$

（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（　　）

（5分）已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ ）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上， $\triangle { \sf o A F }$ 是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 1 2 } = 1$ B $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 1 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$ C $\frac { { \bf x } ^ { 2 } } { 3 } - { \bf y } ^ { 2 } = 1$ D $\mathbf { x } ^ { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } = 1$

（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若 $\mathsf { a } { = } { \textsf { - f } } ( \mathsf { \Gamma } _ { \mathsf { l } \circ \mathsf { g } _ { 2 } } { \frac { 1 } { 5 } } )$ ${ \sf b } { = } { \sf f } ( \log _ { 2 } { 4 }$
1）， ${ \sf C } { = } { \sf f } ^ { \mathrm { ~ ~ } } \left( 2 ^ { 0 . 8 } \right)$ ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B ${ \mathsf { b } } { < } { \mathsf { a } } { < } { \mathsf { c } }$ C $\mathsf { c } { < } { \mathsf { b } } { < } { \mathsf { a } }$ D $c < a < b$

（5分）设函数f $( x ) = 2 \sin ( w x + \phi )$ ，x∈R，其中 $\omega > 0$ ，| $\Phi \vert < \pi$ ．若f $( \frac { 5 \pi } { 8 }$
）=2， $\textbf { f } ( \frac { 1 1 \pi } { 8 } ) = 0$ ，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）
A． $\scriptstyle \omega = { \frac { 2 } { 3 } }$ ，φ $= \frac { \pi } { 1 2 }$ B． $\scriptstyle \mathsf { \omega = \frac { 2 } { 3 } , } \Phi = - \frac { 1 1 \pi } { 1 2 }$
C $\omega = { \frac { 1 } { 3 } } , \Phi = - { \frac { 1 1 \pi } { 2 4 } }$ D $\omega = \frac { 1 } { 3 } , \Phi = \frac { 7 \pi } { 2 4 }$

（5分）已知函数f（x）=$\begin{cases}|x|+2, & x<1 \\ x+\frac{2}{x}, & x\geq1.\end{cases}$，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥｜$\frac{x}{2}$+a｜在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）

（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若 $\textstyle { \frac { { \bar { \mathbf { a } } } - { \bar { \mathbf { i } } } } { 2 + { \bar { \mathbf { i } } } } }$ 为实数，则a的值为

（5分）已知a∈R，设函数f $( \textsf { x } ) = \mathsf { a x } - \mathsf { I n } \mathsf { x }$ 的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为

（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为

（5分）若a，b∈R， $\mathsf { a b } { \mathsf { \Sigma } } { \mathsf { 0 } }$ ，则 $\frac { a ^ { 4 } + 4 b ^ { 4 } + 1 } { a b }$ 的最小值为

（5分）在 $\triangle A B C$ 中， $\angle A = 6 0 ^ { \circ }$ ，AB=3，AC=2．若 $\overrightarrow { B D } = 2 \overrightarrow { D C }$ $\overrightarrow { A E } = \lambda \overrightarrow { A C } - \overrightarrow { A B } ( \lambda \in$

R），且 $\overrightarrow { A D } \cdot \overrightarrow { A E } = - 4$ ，则λ的值为

（13分）如图，在四棱锥 $\mathsf { P } - \mathsf { A B C D } \sharp$ ，AD⊥平面PDC， $\mathsf { A D / / B C } , \mathsf { P D \bot P B }$ AD=1，BC=3，CD=4，PD=2

（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值