二倍角公式　·　历年高考数学真题与解析

7. 已知α为第二象限角，且 $3 \sin 2 \alpha \cos \alpha = 8 \sin \alpha \cos 2 \alpha$ ，则 $\frac { 1 + \sin \alpha } { 2 - \cos \alpha } =$

8． 已知 $0<\alpha<\pi, \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=$

8. $0 < \alpha < \pi$ $\cos { \frac { \alpha } { 2 } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$ $\sin ( \alpha - { \frac { \pi } { 4 } } ) =$ )

22．已知点 $P(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{c}x=2+t \cos \alpha, \\ y=1+t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角，$l$ 与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴分别交于 $A, B$ ，且 $|P A| \cdot|P B|=4$ ．
（1）求 $\alpha$ ；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

6．过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha=$（）

5．已知函数 $f(x)=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$ ，则（ ）

11．若 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 \alpha=\frac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}$ ，则 $\tan \alpha=$

6． $\cos ^{2} \frac{\pi}{12}-\cos ^{2} \frac{5 \pi}{12}=$

13．若 $\sin x=-\frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 x=$ $\_\_\_\_$ ．

2．若 $\alpha$ 为第四象限角，则

5．已知 $3 \sin 2 x=2 \sin x, x \in(0, \pi)$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$

8．已知 $\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

9．已知 $\alpha \in(0, \pi)$ ，且 $3 \cos 2 \alpha-8 \cos \alpha=5$ ，则 $\sin \alpha=$（ ）

10．已知 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), 2 \sin 2 \alpha=\cos 2 \alpha+1$ ，则 $\sin \alpha=$

11．已知 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), 2 \sin 2 \alpha=\cos 2 \alpha+1$ ，则 $\sin \alpha=$

11．（5分）已知角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 $A(1, a), B(2, b)$ ，且 $\cos 2 \alpha=\frac{2}{3}$ ，则 $|a-b|=$（ ）

16．（本小题满分 14 分）
已知 $\alpha, \beta$ 为锐角， $\tan \alpha=\frac{4}{3}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\cos 2 \alpha$ 的值；
（2）求 $\tan (\alpha-\beta)$ 的值．

17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）

已知 $y=\cos x$ ．
（1）若 $f(\alpha)=\frac{1}{3}$ ，且 $\alpha \in[0, \pi]$ ，求 $f\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)$ 的值；
（2）求函数 $y=f(2 x)-2 f(x)$ 的最小值．

4．（5分）若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$

4．（5分）若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$

6．（5分）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\tan \mathrm{x}}{1+\tan ^{2} \mathrm{x}}$ 的最小正周期为（ ）

6．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=5$ ，则 $\mathrm{AB}=$（ ）

10．（6 分）（2016 • 浙江）已知 $2 \cos ^{2} \mathrm{x}+\sin 2 \mathrm{x}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)+\mathrm{b}(\mathrm{A}>0)$ ，则 $\mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$。

4．（5分）已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{4}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

10．（6 分）（2016 • 浙江）已知 $2 \cos ^{2} \mathrm{x}+\sin 2 \mathrm{x}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)+\mathrm{b}(\mathrm{A}>0)$ ，则 $\mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

11． $\cos ^{2} \frac{\pi}{8}-\sin ^{2} \frac{\pi}{8}=$ $\_\_\_\_$ ．

11．（6 分）（2016 •浙江）已知 $2 \cos ^{2} \mathrm{x}+\sin 2 \mathrm{x}=\mathrm{Asin}(\omega \mathrm{x}+\phi)+\mathrm{b}(\mathrm{A}>0)$ ，则 $\mathrm{A}=-\sqrt{2} \_, \mathrm{b}=$ 1 。

16．（14分）（2016•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$
（II）若 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{4}$ ，求角 A 的大小．

6．（5分）若 $\tan \theta=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 \theta=$（ ）

7．方程 $3 \sin x=1+\cos 2 x$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的解为 $\_\_\_\_$ ．

8．方程 $3 \sin x=1+\cos 2 x$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的解为 $\_\_\_\_$ ．

9．（5分）若 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

12．函数 $f(x)=4 \cos ^{2} \frac{x}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2 \sin x-|\ln (x+1)|$ 的零点个数为 $\_\_\_\_$ ．

6．＂ $\sin \alpha=\cos \alpha$＂是＂ $\cos 2 \alpha=0$＂的
$A$ 充分不必要条件
B 必要不充分条件
$C$ 充分必要条件
$D$ 既不充分也不必要

14．（5分）函数 $y=\cos 2 x+2 \sin x$ 的最大值是－$\frac{3}{2}$
$\_\_\_\_$ ．

16．（5分）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{a} \sin \mathrm{x}$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 是减函数，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，2］ ．

17．（本小题满分 12 分）已知函数 $f(x)=\sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ ，求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值．

2．（5分）若 $\tan \alpha>0$ ，则（ ）

6．（5分）如图，圆 O 的半径为1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 $O P$ 的距离表示为 $x$ 的函数 $f(x)$ ，则 $y=f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 的图象大致为（

6．若函数 $f(x), g(x)$ 满足 $\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x=0$，则称 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的一组正交函数，给出三组函数：①$f(x)=\sin \frac{1}{2} x, g(x)=\cos \frac{1}{2} x$；②$f(x)=x+1, g(x)=x-1$；③$f(x)=x, g(x)=x^{2}$．其中为区间 $[-1,1]$ 的正交函数的组数是

10．（5分）已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, 23 \cos ^{2} A+\cos 2 A=0, a=7, c=6$ ，则 $b=$

13．设 $\sin 2 \alpha=-\sin \alpha, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，则 $\tan 2 \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$．

14、设 $\sin 2 \alpha=-\sin \alpha, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，则 $\tan 2 \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$．

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=2 \sqrt{6}, \angle B=2 \angle A$ ．
（I）求 $\cos \mathrm{A}$ 的值；
（II）求 c 的值．

16．（12分）（2013 • 广东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{2} \cos \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{12}\right), ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ 。
（1）求 $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值；
（2）若 $\cos \theta=\frac{3}{5}, \quad \theta \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ ，求 $f\left(2 \theta+\frac{\pi}{3}\right)$ ．

18．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别是 $a, b, c$．已知 $\cos 2 A-3 \cos (B+C)=1$．
（I）求角 $A$ 的大小；
（II）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=5 \sqrt{3}, \quad b=5$，求 $\sin B \sin C$ 的值．

11．设 $\alpha$ 为锐角，若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$ ，则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)$ 的值为

4．（5分）已知 $\alpha$ 为第二象限角， $\sin \alpha=\frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

（7）若 $\theta \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right], \sin 2 \theta=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ，则 $\sin \theta=$

7．（5分）已知 $\alpha$ 为第二象限角， $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$（）

14．（5分）已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan 2 \alpha=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{4}{3}$ ．

5．（5分）已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线

$y=2 x$ 上，则 $\cos 2 \theta=$

7．（5分）已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边在直线 $y =2 x$ 上，则 $\cos 2 \theta=$（ ）

7．（5分）（2011•辽宁）设 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin 2 \theta=~(\quad)$

7．已知 $\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2$ ，则 $\frac{\tan x}{\tan 2 x}$ 的值为 $\_\_\_\_$ A ．

13．（5分）已知a是第二象限的角， $\tan (\pi+2 \alpha)=-\frac{4}{3}$ ，则 $\tan \alpha=-\frac{1}{2}$ 。

14．（5分）已知 $\alpha$ 为第二象限角， $\sin \alpha=\frac{3}{5}$ ，则 $\tan 2 \alpha=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{24}{7}$ ．

3．（5分）已知 $\sin \alpha=\frac{2}{3}$ ，则 $\cos (\pi-2 \alpha)=$（ ）

（12）若 $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\cos 2 \theta=$

（9）若角 $a$ 的终边经过点 $P(1,-2)$ ，则 $\tan 2 a$ 的值为 $\_\_\_\_$。