2019 北京卷 数学

（5分）已知复数 $z { = } 2 { + } i$ ，则 $z \bullet _ { z } ^ { - } =$ （　　）A $\sqrt { 3 }$ B $\sqrt { 5 }$ C．3 D．5

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

（5 分）已知直线 l的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { { \mathbf { x } } { = } 1 { + } 3 { \mathrm { t } } } \\ { { \mathbf { y } } { = } 2 { + } 4 { \mathrm { t } } } \end{array} \right. ,$ （t为参数），则点（1，0）到直线 l的距离是（　　）A $\frac { 1 } { 5 }$ B $\frac { 2 } { 5 }$ C $\frac { 4 } { 5 }$ D． $\frac { 6 } { 5 }$

（5分）已知椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，则（　　） A $a ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }$ B $3 a ^ { 2 } { = } 4 b ^ { 2 }$ C $a { = } 2 b$ D． $3 a = 4 b$

（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m _ { 2 } \textrm { - } m _ { 1 } { = } \frac { 5 } { 2 } l g \frac { \bar { \mathtt { E } } _ { 1 } } { \bar { \mathtt { E } } _ { 2 } }$ ，其中星等为 $m _ { k }$ 的星的亮度为 $E _ { k } \ ( k { = } 1 , \ 2 )$ ．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）

（5 分）设点 A，B，C 不共线，则“ $\overrightarrow { \mathrm { A B } }$ 与 $\overrightarrow { \tt A C }$ 的夹角为锐角”是“ $\vert \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } \vert > \vert \overrightarrow { B C } \vert ^ { \prime }$ 的（　　）

（5分）函数 $f \left( x \right) = \sin ^ { 2 } 2 x$ 的最小正周期是 $- { \frac { \pi } { 2 } } -$

（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　若l⊥$\underline { { \alpha } } , ~ l \perp m ,$ ，则 $m / / \alpha$

（13分）在 $\triangle A B C$ 中，a＝3，b﹣c＝2， $\mathrm { c o s } B { = } - { \frac { 1 } { 2 } } .$

（Ⅰ）求b，c 的值；

（Ⅱ）求 sin（B﹣C）的值

（14分）已知抛物线 $C \colon x ^ { 2 } = - 2 p y$ 经过点（2，﹣1）

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 $y = - \ 1$ 分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点