2023 北京卷 数学

已知集合 $M = \left\{ x \mid x + 2 \geq 0 \right\}$ $N = \{ x \vert x - 1 < 0 \}$ ，则 $M \cap N = { \mathrm { ~ ( ~ ) ~ } }$

在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $( - 1 , { \sqrt { 3 } } )$ ，则z的共轭复数z =（ ）

已知向量 $\vec { a } , \vec { b }$ 满足 $\vec { a } + \vec { b } = ( 2 , 3 ) , \vec { a } - \vec { b } = ( - 2 , 1 )$ ，则 $\vert \overrightarrow { a } \vert ^ { 2 } - \vert \overrightarrow { b } \vert ^ { 2 } = \mathrm { ~ ( ~ } \quad )$

$\left( 2 x - { \frac { 1 } { x } } \right) ^ { 5 }$ 的展开式中x的系数为（ ）

已知抛物线 $C : y ^ { 2 } = 8 x$ 的焦点为F ，点M在C上．若M到直线x = -3的距离为5，则 $M F \models$ （ ）

在 $\triangle A B C$ 中， $( a + c ) ( \sin { A } - \sin { C } ) = b ( \sin { A } - \sin { B } )$ ，则Ð =C （ ）

坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若$A B = 2 5 \mathrm { m } , B C = A D = 1 0 \mathrm { m }$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 $\frac { \sqrt { 1 4 } } { 5 }$ ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

已知函数 $f ( x ) = 4 ^ { x } + \log _ { 2 } x$ ，则 $f { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } =$

已知双曲线 C 的焦点为( 2,0)- 和 (2,0) ，离心率为 $\sqrt { 2 }$ ，则C的方程为

已知命题 ^{p :}若 $\alpha , \beta$ 为第一象限角，且 $\alpha > \beta$ ，则 $\tan \alpha > \tan \beta$ ．能说明 $p$ 为假命题的一组 $\alpha , \beta$ 的值_为a = $\beta =$ 【答案】 ①. $\frac { 9 \pi } { 4 }$ ②. $\frac { \pi } { 3 }$

我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 $a _ { 1 } = 1 , a _ { 5 } = 1 2 , a _ { 9 } = 1 9 2$ ，则 $a _ { 7 } =$ \_；数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 所有项的和为

设 $a > 0$ ，函数 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x + 2 , x < - a , } \\ { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } , - a \leq x \leq a , } \\ { - \sqrt { x } - 1 , x > a . } \end{array} \right.$ ，给出下列四个结论：

① f x( ) 在区间 ( 1, )a - +¥ 上单调递减；

②当a ³1时，f x( )存在最大值；

③设 $M \left( x _ { 1 } , f \bigl ( x _ { 1 } \bigr ) \right) \left( x _ { 1 } \leq a \right) , N \bigl ( x _ { 2 } , f \bigl ( x _ { 2 } \bigr ) \bigr ) \bigl ( x _ { 2 } > a \bigr )$ ，则 | $M N | { > } 1$

④设 $P { \big ( } x _ { 3 } , f { \big ( } x _ { 3 } { \big ) } { \big ) } { \big ( } x _ { 3 } < - a { \big ) } , Q { \big ( } x _ { 4 } , f { \big ( } x _ { 4 } { \big ) } { \big ) } { \big ( } x _ { 4 } \geq - a { \big ) }$ ．若| |PQ 存在最小值，则a的取值范围是 $\left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right]$

其中所有正确结论的序号是

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A \perp$ 平面ABC， $P A = A B = B C = 1$ 5 $P C = \sqrt { 3 }$

（1）求证： $B C \perp$ 平面 PAB；

（2）求二面角 $A - P C - B$ 的大小

设函数 $f ( x ) = \sin \omega x \cos \varphi + \cos \omega x \sin \varphi { \Biggl ( } \omega > 0 , | \varphi | < { \frac { \pi } { 2 } } { \Biggr ) }$

（1）若 $f ( 0 ) = - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ ，求j的值

（2）已知f x( )在区间 $\left[ - { \frac { \pi } { 3 } } , { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right]$ 上单调递增， $f \left( { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) = 1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中_{选择一个作为已知，使函数}f x( )_存在，求w_j, _的值

条件①： $f \left( { \frac { \pi } { 3 } } \right) = { \sqrt { 2 } }$

条件②： $f { \Bigg ( } - { \frac { \pi } { 3 } } { \Bigg ) } = - 1$ ；

条件③：f x( )在区间 $\left[ - { \frac { \pi } { 2 } } , - { \frac { \pi } { 3 } } \right]$ 上单调递减

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计 pts

为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同

<table><tr><td>时段</td><td colspan="20">价格变化</td></tr><tr><td>第1天到第20天</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>-</td><td>+</td><td>0</td><td>0</td><td>+</td></tr><tr><td>第21天到第40天</td><td>0</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>+</td></tr></table>

用频率估计概率

（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；

（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 3 }$ ，A C分别是E的上、下顶点，B，D 分别是E的左、右顶点， $\mid A C \mid = 4$

（1）求E的方程；

②设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y = -2交于点N．求证： $M N / / C D$

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\} , \left\{ b _ { n } \right\}$ 的项数均为 $m \left( m > 2 \right)$ ，且 $a _ { n } , b _ { n } \in \{ 1 , 2 , \cdots , m \} , \left\{ a _ { n } \right\} , \left\{ b _ { n } \right\}$ 的前n项和分别为$A _ { n } , B _ { n }$ ，并规定 $A _ { 0 } = B _ { 0 } = 0$ ．对于 $k \in \{ 0 , 1 , 2 , \cdots , m \}$ ，定义 $r _ { k } = \operatorname* { m a x } \left. i \mid B _ { i } \leq A _ { k } , i \in \lbrace 0 , 1 , 2 , \cdots , m \rbrace \right.$ ，其中，maxM表示数集M中最大的数.

（1）若 $a _ { 1 } = 2 , a _ { 2 } = 1 , a _ { 3 } = 3 , b _ { 1 } = 1 , b _ { 2 } = 3 , b _ { 3 } = 3$ ，求 $r _ { 0 } , r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 }$ 的值；

（2）若 $a _ { 1 } \geq b _ { 1 }$ ，且 $2 r _ { { \scriptscriptstyle j } } \le r _ { { \scriptscriptstyle j } + 1 } + r _ { { \scriptscriptstyle j } - 1 } , { \scriptscriptstyle j } = 1 , 2 , \cdots , m - 1 ,$ , ，求 $r _ { n }$ ；

（3）证明：存在 $p , q , s , t \in \{ 0 , 1 , 2 , \cdots , m \}$ ，满足 $p > q , s > t$ , _使得 $A _ { p } + B _ { t } = A _ { q } + B _ { s }$