2022 北京卷 数学

已知全集 $U=\{x \mid-3<x<3\}$ ，集合 $A=\{x \mid-2<x \leq 1\}$ ，则 $\mathrm{C}_{\cup} A=$

若复数 $z$ 满足 $\mathrm{i} \cdot z=3-4 \mathrm{i}$ ，则 $|z|=$

若直线 $2 x+y-1=0$ 是圆 $(x-a)^{2}+y^{2}=1$ 的一条对称轴，则 $a=$

已知函数 $f(x)=\frac{1}{1+2^{x}}$ ，则对任意实数 $x$ ，有（）

已知函数 $f(x)=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$ ，则（ ）

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为 0 的无穷等差数列，则＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂是＂存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n>N_{0}$ 时，$a_{n}>0$＂的（ ）

在北京冬奥会上，国家速滑馆＂冰丝带＂使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献。如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 $T$ 和 $\lg P$ 的关系，其中 $T$ 表示温度，单位是 $K ; ~ P$ 表示压强，单位是 bar。下列结论中正确的是（）

若 $(2 x-1)^{4}=a_{4} x^{4}+a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}$ ，则 $a_{0}+a_{2}+a_{4}=()$

已知正三棱锥 $P-A B C$ 的六条棱长均为 6，$S$ 是 $\triangle A B C$ 及其内部的点构成的集合．设集合 $T=\{Q \in S \mid P Q \leq 5\}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积为（ ）

在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围是（）

函数 $f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1-x}$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

已知双曲线 $y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

若函数 $f(x)=A \sin x-\sqrt{3} \cos x$ 的一个零点为 $\frac{\pi}{3}$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$ ；$f\left(\frac{\pi}{12}\right)=$
$\_\_\_\_$。

设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-a x+1, & x<a, \\ (x-2)^{2}, & x \geq a .\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 存在最小值，则 $a$ 的一个取值为＿$a$的最大值为 $\_\_\_\_$。

己知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} \cdot S_{n}=9(n=1,2, \cdots)$ 。给出下列四个结论：
①$\left\{a_{n}\right\}$ 的第 2 项小于 3；
②$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
③$\left\{a_{n}\right\}$ 为递减数列；
④$\left\{a_{n}\right\}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项．

其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

在 $\triangle A B C$ 中， $\sin 2 C=\sqrt{3} \sin C$ ．
（1）求 $\angle C$ ；
（2）若 $b=6$ ，且 $\triangle A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．

如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, A B=B C=2, M, N$ 分别为 $A_{1} B_{1}, A C$ 的中点．

（1）求证：$M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 $A B$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值．

条件①：$A B \perp M N$ ；

条件②：$B M=M N$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上 （含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： m ）：

甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25$ ；
乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ；
丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
②设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

已知椭圆：$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）过点 $P(-2,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$ ，当 $|M N|=2$ 时，求 $k$ 的值．

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+x)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
②设 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的单调性；
（3）证明：对任意的 $s, t \in(0,+\infty)$ ，有 $f(s+t)>f(s)+f(t)$ ．