2019 江苏卷 数学

已知集合 $A = \{ - 1 , 0 , 1 , 6 \}$ $B = \{ x \mid x > 0 , x \in \mathbf { R } \}$ ，则 $A \cap B = \underline { { \mathbf { A } } }$

已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是▲

下图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲

(第3题)

函数 $y = \sqrt { 7 + 6 x - x ^ { 2 } }$ 的定义域是▲

已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲

从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 经过点 $(3,4)$，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .

已知数列 $\{ a _ { n } \} ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$ 是等差数列， $S _ { n }$ 是其前n项和.若 $a _ { 2 } a _ { 5 } + a _ { 8 } = 0 , S _ { 9 } = 2 7$ ，则 $S _ { 8 }$ 的值是▲

如图，长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的体积是120，E为 $C C _ { 1 }$ 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是▲.

在平面直角坐标系xOy中，P是曲线 $y = x + { \frac { 4 } { x } } ( x > 0 )$ 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是▲

如图，在 $\triangle A B C$ 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若$\overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { A C } = 6 \overrightarrow { A O } \cdot \overrightarrow { E C }$ ，则 $\frac { A B } { A C }$ 的值是▲

已知 $\frac { \tan \alpha } { \tan \left( \alpha + { \frac { \pi } { 4 } } \right) } = - \frac { 2 } { 3 }$ ，则 $\sin ( 2 \alpha + \frac { \pi } { 4 } )$ 的值是▲

设 $f ( x ) , g ( x )$ 是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当 $x \in ( 0 , 2 ]$ 时， $f ( x ) = { \sqrt { 1 - \left( x - 1 \right) ^ { 2 } } }$ $g ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { k ( x + 2 ) , 0 < x \leq 1 } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } , 1 < x \leq 2 } } \end{array} } \right.$ ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 $f ( x ) = g ( x )$ 有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲

（本小题满分14分）

在 $\triangle A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

（1）若a=3c, $b { = } \sqrt { 2 }$ $\mathrm { c o s } B { = } \frac { 2 } { 3 }$ ，求c的值；

(2) 若 ${ \frac { \sin A } { a } } = { \frac { \cos B } { 2 b } }$ ，求 $\sin ( B + { \frac { \pi } { 2 } } )$ 的值.

（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱 $A B C { - } A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中，D，E分别为BC，AC的中点， $A B { = } B C$

求证：（1） $A _ { 1 } B _ { 1 } / /$ 平面 $D E C _ { 1 }$

② $B E \bot C _ { 1 } E .$

17.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的焦点为 $F _ { 1 } ~ ( ~ - ~ 1 , ~ 0 )$

$F _ { 2 } \ ( 1 , \ 0 )$ ．过 $F _ { 2 }$ 作x轴的垂线l，在x轴的上方， $l ^ { \boxminus }$ 圆 $F _ { 2 } \colon ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 }$ 交于点A，与椭圆C交于点$D .$ 连结 $A F _ { 1 }$ 并延长交圆 $F _ { 2 }$ 于点 $B { \mathrm { : } }$ 连结 $B F _ { 2 }$ 交椭圆C于点E，连结 $D F _ { 1 }$

已知 $| D F _ { 1 } = \frac { 5 } { 2 }$

（1）求椭圆C的标准方程；

(2）求点E的坐标.

18.（本小题满分16分）

如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA. 规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得$AB=10$，$AC=6$，$BD=12$（单位:百米）.

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离

20.（本小满分16分）

定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M一数列”.

（1）已知等比数列 $\{ a _ { n } \} ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$ 满足： $a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 5 } , a _ { 3 } - 4 a _ { 2 } + 4 a _ { 1 } = 0$ ，求证:数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为“M一数列”

(2) 已知数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 满足 $\cdot b _ { _ 1 } = 1 , \frac { 1 } { S _ { _ n } } = \frac { 2 } { b _ { _ n } } - \frac { 2 } { b _ { _ n + 1 } }$ ，其中 $S _ { n }$ 为数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的前n项和.

①求数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M一数列” $\{ c _ { n } \} ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$ ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 $c _ { k } \leq b _ { k } \leq c _ { k + 1 }$ 成立，求m的最大值.

数学Ⅱ(附加题)

（本小题满分10分）设 $( 1 + x ) ^ { n } = a _ { 0 } + a _ { 1 } x + a _ { 2 } x ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } x ^ { n } , n . . . 4 , n \in \mathbf { N } ^ { * }$ .已知 $a _ { 3 } ^ { 2 } = 2 a _ { 2 } a _ { 4 }$

（1）求n的值；②设 $( 1 + { \sqrt { 3 } } ) ^ { n } = a + b { \sqrt { 3 } }$ ，其中 $a , b \in \mathbf { N } ^ { * }$ ，求 $a ^ { 2 } - 3 b ^ { 2 }$ 的值.

（本小题满分10分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点集 $A _ { n } = \{ ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , . . . , ( n , 0 ) \}$ Bn = {(0, 1), (n, 1)}, Cn = {(0, 2), (1, 2), (2, 2),· · · , (n, 2)}, n ∈ N\*.

$M _ { n } = A _ { n } \bigcup B _ { n } \bigcup C _ { n }$ .从集合 $M _ { n }$ 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.

（1）当n=1时，求X的概率分布；

（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率 $P \ ( X { \leq } n )$ （用n表示）.