2019 天津卷 数学

设集合 $A = \{-1,1,2,3,5\}, B = \{2,3,4\}, C = \{x \in \mathbf{R} \mid 1 \leq x < 3\}$，则 $(A \cap C) \cup B =$

i 是虚数单位，则 $\left|\dfrac{5-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right|$ 的值为__________．

$\left(2x-\dfrac{1}{8x^{3}}\right)^{8}$ 的展开式中的常数项为__________．

已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________．

设 $a\in\mathbf{R}$，直线 $ax-y+2=0$ 和圆 $\begin{cases}x=2+2\cos\theta,\\y=1+2\sin\theta\end{cases}$（$\theta$ 为参数）相切，则 $a$ 的值为__________．

设 $x>0$， $y>0$， $x+2y=5$，则 $\dfrac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{xy}}$ 的最小值为__________．

在四边形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB=2\sqrt{3}$，$AD=5$，$\angle A=30^{\circ}$，点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $AE=BE$，则 $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AE}=$__________．

（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为$\dfrac{2}{3}$．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用$X$表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量$X$的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设$M$为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件$M$发生的概率．

（本小题满分13分）
设椭圆$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，上顶点为$B$．已知椭圆的短轴长为4，离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点$P$在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点$M$为直线$PB$与$x$轴的交点，点$N$在$y$轴的负半轴上．若$|ON|=|OF|$（$O$为原点），且$OP \perp MN$，求直线$PB$的斜率．