2022 北京卷 数学

已知全集 $U = \{x \mid -3 < x < 3\}$，集合 $A = \{x \mid -2 < x \le 1\}$，则 $\complement_U A = $（　　）

若复数z满足 $\mathrm { i } \cdot z = 3 - 4 \mathrm { i }$ ，则 z = （ ）

若直线 $2 x + y - 1 = 0$ 是圆 $( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 的一条对称轴，则a =（ ）

己知函数 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 1 + 2 ^ { x } } }$ ，则对任意实数x，有（ ）

已知函数 $f ( x ) = \cos ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } x$ ，则（ ）

设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公差不为0的无穷等差数列， $\mathbb { H } | \mathbb { J } ^ { } \{ a _ { n } \}$ 为递增数列”是“存在正整数 $N _ { 0 }$ ，当$n > N _ { 0 }$ 时， $a _ { n } > 0$ ”的（ ）

在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K：P表示压强，单位是bar 下列结论中正确的是（

若 $( 2 x - 1 ) ^ { 4 } = a _ { 4 } x ^ { 4 } + a _ { 3 } x ^ { 3 } + a _ { 2 } x ^ { 2 } + a _ { 1 } x + a _ { 0 }$ ，则 $a _ { 0 } + a _ { 2 } + a _ { 4 } = ($ ）

已知正三棱锥P ABC- 的六条棱长均为6，S是VABC及其内部的点构成的集合．设集合 $T = \left\{ Q \in S { \big | } P Q \leq 5 \right\}$ ，则T表示的区域的面积为（ ）

在 $\triangle A B C$ 中， $A C = 3 , B C = 4 , \angle C = 9 0 ^ { \circ }$ ．P为VABC所在平面内的动点，且$P C = 1$ ，则 ${ \overrightarrow { P A } } { \cdot } { \overrightarrow { P B } }$ 的取值范围是（ ）

函数 $f ( x ) = { \frac { 1 } { x } } + { \sqrt { 1 - x } }$ 的定义域是

已知双曲线 $y ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { m } = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } x$ ，则m =

若函数 $f ( x ) = A \sin x - { \sqrt { 3 } } \cos x$ 的一个零点为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，则A = $f { \Bigg ( } { \frac { \pi } { 1 2 } } { \Bigg ) } =$ 【答案】 ①. 1 ②. $- \sqrt { 2 }$

设函数 $f { \big ( } x { \big ) } = { \left\{ \right.} { \begin{array} { l l } { - a x + 1 , } & { x < a , } \\ { \left( x - 2 \right) ^ { 2 } , } & { x \geq a . } \end{array} } $ 若f x( ) 存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1【解析】

己知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 各项均为正数，其前n项和 $S _ { n }$ 满足 $a _ { n } \cdot S _ { n } = 9 ( n = 1 , 2 , \cdots )$ ．给出下列四个结论：① $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的第2项小于3； ② $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列；③ $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为递减数列； ④ $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中存在小于 $\frac { 1 } { 1 0 0 }$ 的项

其中所有正确结论 序号是的

已知椭圆： $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个顶点为A(0,1)，焦距为 $2 \sqrt { 3 }$

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点P( 2,1) ^- 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当 $\mid M N \mid = 2$ 时，求k的值