2024 全国甲卷 数学

集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}$，$B=\{x\,|\,x+1\in A\}$，则 $A\cap B=$（　　）

设 $z=\sqrt{2}\mathrm{i}$，则 $z\cdot\overline{z}=$（　　）

</sub> _若实数x y, _{满足约束条件} $\left\{ { \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 3 \geq 0 } \\ { x - 2 y - 2 \leq 0 } \\ { 2 x + 6 y - 9 \leq 0 } \end{array} } \right.$ ，则 $z = x - 5 y$ 最小值为（ ）的

等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ ，若 $S _ { 9 } = 1$ $a _ { 3 } + a _ { 7 } =$ （ ）

甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）

已知双曲线 $C : \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的上、下焦点分别为 $F _ { 1 } ( 0 , 4 ) , F _ { 2 } ( 0 , - 4 )$ ，点 $P \left( - 6 , 4 \right)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

曲线 $f { \big ( } x { \big ) } = x ^ { 6 } + 3 x - 1$ 在 $\left( 0 , - 1 \right)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）

已知 $\frac { \cos \alpha } { \cos \alpha - \sin \alpha } = { \sqrt { 3 } }$ ，则 $\tan \left( \alpha + { \frac { \pi } { 4 } } \right) =$

设a b、 是两个平面，m n、 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta = m$ .下列四个命题：

①若 $m / / n$ ，则 $n / \alpha$ 或 $n / \beta$ ②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha , n \perp \beta$

③若 $n / \alpha$ ，且 $n / \beta$ ，则 $m / / n$ ④若n与a和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$

其中所有真命题的编号是（ ）

在 ${ \triangle A B C }$ 中内角A B C, , 所对边分别为 $a , b , c$ ，若 $B = \frac { \pi } { 3 }$ $b ^ { 2 } = { \frac { 9 } { 4 } } a c$ ，则 $\sin A + \sin C = { \begin{array} { l l l } { ( } & { } & { ) } \end{array} }$

函数 $f \left( x \right) = \sin x - \sqrt { 3 } \cos x$ 在 $\left[ 0 , \pi \right]$ 上的最大值是

已知 a > 1 ， ${ \frac { 1 } { \log _ { 8 } a } } - { \frac { 1 } { \log _ { a } 4 } } = - { \frac { 5 } { 2 } }$ ，则a =

曲线 $y = x ^ { 3 } - 3 x$ 与 $y = - \bigl ( x - 1 \bigr ) ^ { 2 } + a$ 在 $( 0 , + \infty )$ 上有两个不同的交点，则a的取值范围为【答案】（-2,1)

已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ ，且 $2 S _ { n } = 3 a _ { n + 1 } - 3$

（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\left\{ S _ { n } \right\}$ 通项公式.的

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，$B C / / A D , E F / / A D$ ， AD = 4,AB = BC = EF = 2， $E D = \sqrt { 1 0 } , F B = 2 \sqrt { 3 }$ ， M 为 AD 的中点.

（1）证明：BM// 平面CDE；

（2）求点M到ABF 的距离.

设椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $MF\perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$N$ 为线段 $FP$ 的中点，直线 $NB$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$，证明：$AQ\perp y$ 轴．

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\rho = \rho { \cos \theta + 1 }$

（1）写出C的直角坐标方程；

②设直线 $\ l { \mathrm { : } } \quad \left\{ { x = t \atop y = t + a } \right.$ （t为参数），若C与l相交于A B_、 两点，若 $\left| A B \right| = 2$ ，求a的值.【答案】① $y ^ { 2 } = 2 x + 1$ ② $a = \frac { 3 } { 4 }$

实数 $^ { a , b }$ 满足 $a + b \geq 3$

（1）证明： $2 a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } > a + b$ ；

（2）证明： $\left| a - 2 b ^ { 2 } \right| + \left| b - 2 a ^ { 2 } \right| \geq 6$