NewCurriculum高考数学真题及答案解析

4．$4.$ Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数$I(t)$（$t$的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\dfrac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中$K$为最大确诊病例数．当$I(t^{*})=0.95K$时，标志着已初步遏制疫情，则$t^{*}$约为（　　）（$\ln19\approx3$）

21.已知曲线C：$y=$
22x，D为直线$y= 12-$上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， 52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE
的面积.

1．（5分）已知集合$A={0$，2}，$B={$﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩$B=$（　　）

23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当$a=1$时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

20．（12分）设抛物线C：$y2=4x$的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C
交于A，B两点，|$AB|=8$．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

17．（12分）等比数列{an}中，$a1=1$，$a5=4a3$．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若$Sm=63$，求m．

17．（12分）等比数列{an}中，$a1=1$，$a5=4a3$．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若$Sm=63$，求m．

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4
元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理
完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如
果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），
需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的
订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表
：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶
一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．

22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠$AOB=120$°．以O为圆心，OA为半
径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

17．（12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且$a1=1$，$S7=28$，记$bn=[lgan]$，其中
[x]表示不超过x的最大整数，如[$0.9]=0$，[$lg99]=1$．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．

12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数$y=|x2$﹣2x﹣
3|与 $y=f$（x）
图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，ym），则$x i=$（　　）

22．（10分）如图，⊙O中 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠$PFB=2$∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当$a=2$时，求不等式f（x）≤6的解集；
②设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

21．（12分）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值
范围．

18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个
用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率 pts
布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表

B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 2 8 14 10 6
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区
满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90 pts
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，$a1=1$，an≠0，$anan+1=$λSn﹣1，其中λ
为常数．
（Ⅰ）证明：an+2﹣$an=$λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量
指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据
用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），
其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标
值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544
．

18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标
值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115
）
[115，125
）
频数 6 26 38 22 8
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标
值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？

20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣$8y=0$，过点P的动直线l与圆C交于
A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|$OP|=|OM|$时，求l的方程及△POM的面积．

21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线$y=f$（x）和
曲线$y=g$（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线$y=4x+2$．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线$y=f$（x）在点（0，f（
0））处切线方程为$y=4x+4$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）
（Ι）设$x=0$是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．

19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，$AC=BC= AA 1$，D是棱AA1的中点
，DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．

22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外
接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

①$CD=BC$；
（2）△BCD∽△GBD．

24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
①当$a=$﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接
圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

①$CD=BC$；
（2）△BCD∽△GBD．

19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠$ACB=90$°，$AC=BC$
= AA 1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|

①当$a=$﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线$y=x2$﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆
C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣$y+a=0$交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．