2016 新课标 II 卷 · 理 数学

（5分）已知 $z=(m+3)+(m-1) i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是

（5分）已知集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{x \mid(x+1)(x-2)<0, x \in Z\}$ ，则 $A \cup B$等于

（5分）已知向量 $\vec{a}=(1, m), \vec{b}=(3,-2)$ ，且 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $m=($

（5分）圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+13=0$ 的圆心到直线 $a x+y-1=0$ 的距离为 1 ，则 $a=$（

（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（5分）若将函数 $\mathrm{y}=2 \sin 2 \mathrm{x}$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为

（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 $\mathrm{x}=2, \mathrm{n}=2$ ，依次输入的 a 为 $2,2,5$ ，则输出的 $\mathrm{s}=$

（5分）若 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

（5分）从区间 $[0,1]$ 随机抽取 2 n 个数 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{y}_{2}, \ldots, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}$ 构成 n个数对 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \ldots\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $\pi$ 的近似值为（）

（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左，右焦点，点 $M$ 在 $E$ 上，$M F_{1}$与 $x$ 轴垂直， $\sin \angle M F_{2} F_{1}=\frac{1}{3}$ ，则 $E$ 的离心率为（ ）

（5分）已知函数 $f(x)(x \in R)$ 满足 $f(-x)=2-f(x)$ ，若函数 $y=\frac{x+1}{x}$ 与 $y=f(x)$ 图象的交点为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{m}, y_{m}\right)$ ，则 $\sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}+\right. \left.y_{i}\right)=(\quad)$

（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\cos A=\frac{4}{5}, \cos C=\frac{5}{13}$ ， $\mathrm{a}=1$ ，则 $\mathrm{b}=-\frac{21}{13}$－

（5分）$\alpha, \beta$ 是两个平面，$m, n$ 是两条直线，有下列四个命题：
①如果 $m \perp n, m \perp \alpha, n \| \beta$ ，那么 $\alpha \perp \beta$ 。
②如果 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{n} \| \alpha$, 那么 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n}$ 。
③如果 $\alpha \| \beta, ~ m \subset \alpha, ~$ 那么 $m \| \beta$ 。
④如果 $\mathrm{m}\|\mathrm{n}, ~ \alpha\| \beta$ ，那么 m 与 $\alpha$ 所成的角和 n 与 $\beta$ 所成的角相等。
其中正确的命题是②③④（填序号）

（5分）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：＂我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ＂，乙看了丙的卡片后说：＂我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ＂，丙说：＂我的卡片上的数字之和不是 $5^{\prime \prime}$ ，则甲的卡片上的数字是 $\_\_\_\_$ 1和3。

（12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且$a1=1$，$S7=28$，记$bn=[lgan]$，其中
[x]表示不超过x的最大整数，如[$0.9]=0$，[$lg99]=1$．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．

（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
<table>
<tr><td>上年度出险次数</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>≥5</td></tr>
<tr><td>保费</td><td>0.85a</td><td>a</td><td>1.25a</td><td>1.5a</td><td>1.75a</td><td>2a</td></tr>
</table>
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
<table>
<tr><td>一年内出险次数</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>≥5</td></tr>
<tr><td>概率</td><td>0.30</td><td>0.15</td><td>0.20</td><td>0.20</td><td>0.10</td><td>0.05</td></tr>
</table>
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

已知函数 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{2}\right|$ ，$M$ 为不等式 $f(x)<2$ 的解集。
（I）求 M ；
（II）证明：当 $a, b \in M$ 时，$|a+b|<|1+a b|$ ．