2014 新课标 I 卷 · 文 数学

（5分）已知集合 $M=\{x \mid-1<x<3\}, N=\{x \mid-2<x<1\}$ ，则 $M \cap N=$（）

（5分）若 $\tan \alpha>0$ ，则（ ）

（5分）设 $\mathrm{z}=\frac{1}{1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}$ ，则 $|\mathrm{z}|=()$

（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1 ~(a>0) ~$ 的离心率为2，则实数 $a=~(\quad)$

（5分）设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$ ，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$是偶函数，则下列结论正确的是

（5分）设 $D, E, F$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三边 $B C, C A, A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{F C}=$（

（5分）在函数（1）$y=\cos |2 x|$ ，②$y=|\cos x|$ ，③$y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ ，④$y=\tan$（ $\left.2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 中，最小正周期为 $\pi$ 的所有函数为（ ）

（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

（5分）执行如图的程序框图，若输入的 $a, b, k$ 分别为 $1,2,3$ ，则输出的 $M=$

（5分）已知抛物线C：$y^{2}=x$ 的焦点为 $F, A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是C上一点，$A F=\left|\frac{5}{4} x_{0}\right|$ ，则 $\mathrm{x}_{0}=$（ ）

（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant a \\ x-y \leqslant-1\end{array}\right.$ 且 $z=x+a y$ 的最小值为 7 ，则 $a=$（

（5分）已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ ，若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0}>0$ ，则实数 a 的取值范围是（）

（5分）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{2}{3}$。

（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 $\_\_\_\_$ A ．

（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{x-1}, & x<1 \\ \frac{1}{3}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则使得 $f(x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范
围是 $\_\_\_\_$ $x \leq 8$ ．

（5分）如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点，从 A点测得 $M$ 点的仰角 $\angle M A N=60^{\circ}$ ，C点的仰角 $\angle C A B=45^{\circ}$ 以及 $\angle M A C=75^{\circ}$ ；从C点测得 $\angle M C A=60^{\circ}$ ，已知山高 $B C=100 \mathrm{~m}$ ，则山高 $M N=$ $\_\_\_\_$ 150 m．

（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标
值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115
）
[115，125
）
频数 6 26 38 22 8
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标
值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？

（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣$8y=0$，过点P的动直线l与圆C交于
A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|$OP|=|OM|$时，求l的方程及△POM的面积．

（12分）设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{1-a}{2} x^{2}-b x(a \neq 1)$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ $1, f$
（1））处的切线斜率为 0 ，
（1）求 b ；
（2）若存在 $x_{0} \geq 1$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)<\frac{a}{a-1}$ ，求 $a$ 的取值范围．

若 $a>0, b>0$ ，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{a b}$ ．
（I）求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值；
（II）是否存在 $a$ ，$b$ ，使得 $2 a+3 b=6$ ？并说明理由．