函数的基本性质　·　历年高考数学真题与解析

15．设 $a>0$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x<-a, \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}},-a \leq x \leq a, \text { 给出下列四个结论：} \\ -\sqrt{x}-1, x>a .\end{array}\right.$
①$f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递减；
（2）当 $a \geq 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值；
③设 $M\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{1} \leq a\right), N\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{2}>a\right)$ ，则 $|M N|>1$ ；
④设 $P\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)\left(x_{3}<-a\right), Q\left(x_{4}, f\left(x_{4}\right)\right)\left(x_{4} \geq-a\right)$ 。若 $|P Q|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.

其中所有正确结论的序号是

23．（3 分 +6 分 +9 分）给定常数 $c>0$ ，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$ ，数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots$ 满足 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n \in N^{*}$ ．
（1）若 $a_{1}=-c-2$ ，求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；（2）求证：对任意 $n \in N^{*}, a_{n+1}-a_{n} \geq c$ ，；
（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}, \cdots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ，若不存在，说明理由．

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分9分。

给定常数 $c>0$ ，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$ 。数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ 满足 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n \in N^{*}$ 。
（1）若 $a_{1}=-c-2$ ，求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；
（2）求证：对任意 $n \in N^{*}, \quad a_{n+1}-a_{n} \geq c$ ；

（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \ldots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ；若不存在，说明理由．