2013_上海卷 (2013·理)
23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分9分。
给定常数 $c>0$ ，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$ 。数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ 满足 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n \in N^{*}$ 。
（1）若 $a_{1}=-c-2$ ，求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；
（2）求证：对任意 $n \in N^{*}, \quad a_{n+1}-a_{n} \geq c$ ；
（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \ldots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ；若不存在，说明理由．
【解答】
解：（1）因为 $c>0, a_{1}=-(c+2)$ ，故 $a_{2}=f\left(a_{1}\right)=2\left|a_{1}+c+4\right|-\left|a_{1}+c\right|=2$ ， $a_{3}=f\left(a_{1}\right)=2\left|a_{2}+c+4\right|-\left|a_{2}+c\right|=c+10$
（2）要证明原命题，只需证明 $f(x) \geq x+c$ 对任意 $x \in R$ 都成立，
$$ f(x) \geq x+c \Leftrightarrow 2|x+c+4|-|x+c| \geq x+c $$
即只需证明 $2|x+c+4| \geq|x+c|+x+c$
若 $x+c \leq 0$ ，显然有 $2|x+c+4| \geq|x+c|+x+c=0$ 成立；
若 $x+c>0$ ，则 $2|x+c+4| \geq|x+c|+x+c \Leftrightarrow x+c+4>x+c$ 显然成立
综上，$f(x) \geq x+c$ 恒成立，即对任意的 $n \in N^{*}, a_{n+1}-a_{n} \geq c$
③由（2）知，若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，则公差 $d \geq c>0$ ，故 n 无限增大时，总有 $a_{n}>0$
此时，$a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)=2\left(a_{n}+c+4\right)-\left(a_{n}+c\right)=a_{n}+c+8$
即 $d=c+8$
故 $a_{2}=f\left(a_{1}\right)=2\left|a_{1}+c+4\right|-\left|a_{1}+c\right|=a_{1}+c+8$ ，
即 $2\left|a_{1}+c+4\right|=\left|a_{1}+c\right|+a_{1}+c+8$ ，
当 $a_{1}+c \geq 0$ 时，等式成立，且 $n \geq 2$ 时，$a_{n}>0$ ，此时 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，满足题意；
若 $a_{1}+c<0$ ，则 $\left|a_{1}+c+4\right|=4 \Rightarrow a_{1}=-c-8$ ，
此时，$a_{2}=0, a_{3}=c+8, \cdots, a_{n}=(n-2)(c+8)$ 也满足题意；
综上，满足题意的 $a_{1}$ 的取值范围是 $[-c,+\infty) \cup\{-c-8\}$ 。