23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分9分。
给定常数 $c>0$ ，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$ 。数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ 满足 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n \in N^{*}$ 。
（1）若 $a_{1}=-c-2$ ，求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；
（2）求证：对任意 $n \in N^{*}, \quad a_{n+1}-a_{n} \geq c$ ；
（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \ldots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ；若不存在，说明理由．