【答案】②③
## 【解析】
【分析】先分析 $f(x)$ 的图像，再逐一分析各结论；对于（1），取 $a=\frac{1}{2}$ ，结合图像即可判断；对于②，分段讨论 $f(x)$ 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 $|M N|$ 的范围；对于④，取 $a=\frac{4}{5}$ ，结合图
像可知此时 $|P Q|$ 存在最小值，从而得以判断．
【详解】依题意，$a>0$ ，
当 $x<-a$ 时，$f(x)=x+2$ ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 $-a \leq x \leq a$ 时，$f(x)=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ，易知其图像是，圆心为 $(0,0)$ ，半径为 $a$ 的圆在 $x$ 轴上方的图像 （即半圆）；
当 $x>a$ 时，$f(x)=-\sqrt{x}-1$ ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 $a=\frac{1}{2}$ ，则 $f(x)$ 的图像如下，
显然，当 $x \in(a-1,+\infty)$ ，即 $x \in\left(-\frac{1}{2},+\infty\right)$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ 上单调递增，故①错误；
对于（2），当 $a \geq 1$ 时，
当 $x<-a$ 时，$f(x)=x+2<-a+2 \leq 1$ ；
当 $-a \leq x \leq a$ 时，$f(x)=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 显然取得最大值 $a$ ；
当 $x>a$ 时，$f(x)=-\sqrt{x}-1<-\sqrt{a}-1 \leq-2$ ，
综上：$f(x)$ 取得最大值 $a$ ，故②正确；
对于③，结合图像，易知在 $x_{1}=a, x_{2}>a$ 且接近于 $x=a$ 处，
$M\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{1} \leq a\right), N\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{2}>a\right)$ 的距离最小，
当 $x_{1}=a$ 时，$y=f\left(x_{1}\right)=0$ ，当 $x_{2}>a$ 且接近于 $x=a$ 处，$y_{2}=f\left(x_{2}\right)<-\sqrt{a}-1$ ，
此时，$|M N|>y_{1}-y_{2}>\sqrt{a}+1>1$ ，故③正确；
对于④，取 $a=\frac{4}{5}$ ，则 $f(x)$ 的图像如下，
因为 $P\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)\left(x_{3}<-a\right), Q\left(x_{4}, f\left(x_{4}\right)\right)\left(x_{4} \geq-a\right)$ ，
结合图像可知，要使 $|P Q|$ 取得最小值，则点 $P$ 在 $f(x)=x+2\left(x<-\frac{4}{5}\right)$ 上，点 $Q$ 在
$f(x)=\sqrt{\frac{16}{25}-x^{2}}\left(-\frac{4}{5} \leq x \leq \frac{4}{5}\right)$,
同时 $|P Q|$ 的最小值为点 $O$ 到 $f(x)=x+2\left(x<-\frac{4}{5}\right)$ 的距离减去半圆的半径 $a$ ，
此时，因为 $f(x)=y=x+2\left(x<-\frac{4}{5}\right)$ 的斜率为 1 ，则 $k_{O P}=-1$ ，故直线 $O P$ 的方程为 $y=-x$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=-x \\ y=x+2\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=1\end{array}\right.$ ，则 $P(-1,1)$ ，
显然 $P(-1,1)$ 在 $f(x)=x+2\left(x<-\frac{4}{5}\right)$ 上，满足 $|P Q|$ 取得最小值，
即 $a=\frac{4}{5}$ 也满足 $|P Q|$ 存在最小值，故 $a$ 的取值范围不仅仅是 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$ ，故④错误．
故答案为：②③．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得 $f(x)$ 的图像，特别是当 $-a \leq x \leq a$ 时，$f(x)=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$的图像为半圆，解决命题（4）时，可取特殊值进行排除即可．